Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15596

Cho điểm M(2;1). Đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a;0), B(0;b) với a,b>0. Lập phương trình đường thẳng (d) sao cho: a. Diện tích ∆OAB nhỏ nhất. b. OA+OB nhỏ nhất. c. frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}} nhỏ nhất.

Cho điểm M(2;1). Đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a;0), B

Câu hỏi

Nhận biết

Cho điểm M(2;1). Đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a;0), B(0;b) với a,b>0. Lập phương trình đường thẳng (d) sao cho:

a. Diện tích ∆OAB nhỏ nhất.

b. OA+OB nhỏ nhất.

c. frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}} nhỏ nhất.


A.
a.(d): 3x+y-2=0 b.(d): x+(2+sqrt{2})y=0 c.(d): x-y=0
B.
a.(d): x+y-1=0 b.(d): sqrt{2}x+sqrt{2}y-5-3sqrt{2}=0 c.(d): x-y+10=0
C.
a.(d): 3x+2y-2=0 b.(d): sqrt{2}x+(2+sqrt{2})y-5-3sqrt{2}=0 c.(d): x-y+7=0
D.
a.(d): x+2y-4=0 b.(d): (1+sqrt{2})x+(2+sqrt{2})y-5-3sqrt{2}=0 c.(d): 2x+y-5=0
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

 Từ giả thiết, ta được (d): frac{x}{a}+frac{y}{b}=1

Vì M∈(d) nên frac{2}{a}+frac{1}{b}=1                            (1)

a. Ta có. diện tích ∆OAB được cho bởi:

S=frac{1}{2}OA.OB=frac{ab}{2}

Từ (1) suy ra

1=frac{2}{a}+frac{1}{b}≥2sqrt{frac{2}{a}.frac{1}{b}}= frac{sqrt{2}}{sqrt{ab}} <=> ab≥2 <=> S≥1.

Vậy Smin=1 đạt được khi: frac{2}{a}=frac{1}{b}=frac{1}{2}<=>left{begin{matrix} a=4\b=2 end{matrix}right.

Khi đó phương trình đường thẳng (d): x+2y-4=0

b. Từ (1) ta được:

a=frac{2b}{b-1}=> điều kiện b>1

Khi đó:

OA+OB=frac{2b}{b-1}+b=frac{2}{b-1}+b+2

=frac{2}{b-1}+b-1+3≥2sqrt{frac{2}{b-1}.(b-1)}+3=2sqrt{2}+3.

Vậy (OA+OB)min=2sqrt{2}+3, đạt được khi: frac{2}{b-1}=b-1 <=>left{begin{matrix} a=2+sqrt{2}\b=1+sqrt{2} end{matrix}right.

Khi đó phương trình đường thẳng (d): (1+sqrt{2})x+(2+sqrt{2})y-5-3sqrt{2}=0

c. Ta có: frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}}=frac{1}{a^{2}}+frac{1}{b^{2}}.

Nhận xét rằng:

(22+11).(frac{1}{a^{2}}+frac{1}{b^{2}})≥ (frac{1}{a^{2}}+frac{1}{b^{2}})^{2}=1

=>frac{1}{a^{2}}+frac{1}{b^{2}}≥frac{1}{5}

Vậy ( frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}})min=frac{1}{5}, đạt được khi:

left{begin{matrix} frac{2}{a}+frac{1}{b}=1\2a=b end{matrix}right.<=>left{begin{matrix} a=frac{5}{2}\b=5 end{matrix}right.

Khi đó phương trình đường thẳng (d): 2x+y-5=0

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết