Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15508

Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau M=x(frac{x^{3}}{4}+frac{1}{yz}) + y(frac{y^{3}}{4}+frac{1}{zx}) + z(frac{z^{3}}{4}+frac{1}{xy})

Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau M=

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

M=x(frac{x^{3}}{4}+frac{1}{yz}) + y(frac{y^{3}}{4}+frac{1}{zx}) + z(frac{z^{3}}{4}+frac{1}{xy})


A.
minM=-frac{15}{4}
B.
minM=frac{15}{4}
C.
minM=frac{4}{15}
D.
minM=-frac{4}{15}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có M==frac{x^4}{4}+frac{y^4}{4}+frac{z^4}{4}+frac{x}{yz}+frac{y}{zx}+frac{z}{xy}

=frac{x^4}{4}+frac{y^4}{4}+frac{z^4}{4}+frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz}

Ta cóleft.begin{matrix} (x-y)^2 geq0\ (y-z)^2 geq0 \(z-x)^2 geq0 end{matrix}right} =>x^{2}+y^{2}+z^{2} geq xy+yz+zx. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

Suy ra Mgeqfrac{x^4}{4}+frac{y^4}{4}+frac{z^4}{4}+frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz}

            <=> Mgeq(frac{x^{4}}{4}+frac{1}{x})+ (frac{y^{4}}{4}+frac{1}{y})+ (frac{z^{4}}{4}+frac{1}{z})

Áp dụng bđt Cô si cho 5 số dương ta có

frac{x^{4}}{4}+frac{1}{x}=frac{x^{4}}{4}+frac{1}{4x}+frac{1}{4x}+frac{1}{4x}+frac{1}{4x} geq5sqrt[5]{frac{x^{4}}{4}frac{1}{4x}frac{1}{4x}frac{1}{4x}frac{1}{4x}}=frac{5}{4}

Dấu "=" xảy ra <=> frac{x^{4}}{4}=frac{1}{4x}<=>x=1

Chứng minh tương tự ta được frac{y^{4}}{4}+frac{1}{y} geqfrac{5}{4}. Dấu "=" xảy ra<=>frac{y^{4}}{4}=frac{1}{4y} <=>y=1

frac{z^{4}}{4}+frac{1}{z} geqfrac{5}{4}. Dấu "=" xảy ra <=>frac{z^{4}}{4}=frac{1}{4z}<=>z=1

Suy ra Mgeqfrac{15}{4}. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.

Vậy minM=frac{15}{4}. Đạt được khi x=y=z=1

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết