Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1425

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (BC // AD). Biết rằng hình chiếu của S xuống (ABCD) trùng với trung điểm của AD, SB = a√2, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (BC // AD). Biết rằng hình

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (BC // AD). Biết rằng hình chiếu của S xuống (ABCD) trùng với trung điểm của AD, SB = a√2, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD


A.
VS.ABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}, HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}
B.
VS.ABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}, HK = \frac{a\sqrt{21}}{4}
C.
VS.ABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{7}, HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}
D.
VS.ABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{7}, HK = \frac{a\sqrt{21}}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H là trung điểm của AD.

Khi đó SH ⊥ (ABCD). Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SBH ta có

SH = \sqrt{SB^{2}-BH^{2}} = \sqrt{2a^{2}-a^{2}} = a

Kẻ đường cao BE của hình thang ABCD. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABE ta có:

BE = \sqrt{AB^{2}-AE^{2}} = \sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Suy ra:

VS.ABCD = \frac{1}{3}.SH.SABCD  = \frac{1}{3}.a.\frac{(a+2a).\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4} (đvtt).

Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ HK vuông góc với SI tại K.

Vì BC ⊥ SH, BC ⊥ IH nên BC ⊥ HK. Từ đó suy ra HK ⊥ (SBC).

Khi đó

d(AD,SB) = d( AD, (SBC) ) = d (H, (SBC) ) = HK.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHI ta có

HK = \frac{HS.HI}{\sqrt{HS^{2}+HI^{2}}} = \frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2}+\frac{3a^{2}}{4}}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết