Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13940

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn (x-4)2+(y-4)2+2xy ≤32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=x5+y5+3(xy-1)(x+y-2).    

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn (x-4)2+(y-4)2+2

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn (x-4)2+(y-4)2+2xy ≤32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=x5+y5+3(xy-1)(x+y-2).    


A.
Amin=frac{1+sqrt{5}}{4}
B.
Amin=frac{17-5sqrt{5}}{4}
C.
Amin=frac{1+sqrt{5}}{2}
D.
Amin=frac{17-5sqrt{5}}{2}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Biến đổi biểu thức điều kiện về dạng:

(x+y)2-8(x+y) ≤0 <=>0 ≤x+y ≤8

Mặt khác ta có: 4xy ≤(x+y)2 =>-6xy ≥frac{-3}{2}(x+y)2.

Biến đổi A về dạng:

A=(x+y)3-6xy-3(x+y)+6 ≥(x+y)3 -frac{3}{2}(x+y)2-3(x+y)+6.

Đặt t=x+y(0 ≤t ≤8), ta xét hàm số:

f(t)=t3 - frac{3}{2}t2-3t+6 trên đoạn D=[0;8].

f’(t)=3t2-3t-3; f’(t)=0 <=> t2-t-1=0 <=> t=frac{1+sqrt{5}}{2}

Ta lần lượt có: f(0)=6; f(frac{1+sqrt{5}}{2})=frac{17-5sqrt{5}}{4}; f8)=398.

Vậy, Pmin=frac{17-5sqrt{5}}{4}, đạt được khi t=frac{1+sqrt{5}}{2}

Từ đó suy ra Amin=frac{17-5sqrt{5}}{4} đạt được khi: left{begin{matrix} x=y\x+y=frac{1+sqrt{5}}{2} end{matrix}right.

<=>x=y=frac{1+sqrt{5}}{4}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết