Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13924

Cho các số thực dương thỏa mãn các điều kiện x+y+z=0 và x2+y2+z2=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x5+y5+z5

Cho các số thực dương thỏa mãn các điều kiện x+y+z=0 và x2+y<

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương thỏa mãn các điều kiện x+y+z=0 và x2+y2+z2=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x5+y5+z5


A.
Pmax=sqrt{frac{1}{3}}
B.
Pmax=2
C.
Pmax=sqrt{frac{2}{3}}
D.
Pmax=frac{1}{3}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Cần biết cách định hướng đưa biểu thức P và dạng một ẩn dựa vào hai biểu thức điều kiện, cụ thể:

+ Nếu lựa chọn sử dụng một trong ba biến x,y,z. Giả sử là x thì ta cần thực hiện biến đổi:

P=x5+(y2+z2)(y3+z3)-y2z2(y+z)

=x5+(y2+z2)[(y+z)3-3yz(y+z)]- y2z2(y+z)

Trong đó, với giả thiết ta có ngay:y+z=-x; y2+z2=1-x2.

Như vậy, còn phải tìm cách biểu diễn yz theo x. Việc này được thực hiện:

0=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2x(y+z)+2yz=1-2x2+2yz

<=>yz=x2-frac{1}{2}

Tới đây, bài toán được chuyển về việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) nên cần tìm tập giá trị cua biến x. Việc này được thực hiện:

yz≤frac{y^{2}+z^{2}}{2}=frac{1-x^{2}}{2} =>x2-frac{1}{2}≤ frac{1-x^{2}}{2}<=> 3x2 ≤2

<=>-sqrt{frac{2}{3}}≤x≤sqrt{frac{2}{3}}

+ Nếu lựa chọn sử dụng ẩn phụ có tính đối xứng theo tổng. Giả sử t=x+y=-z thì ta cần thực hiện biến đổi:

P=x5+y5-(x+y)5=-5xy(x3+y3)-10x2y2(x+y)

=-5xy[(x+y)3-3xy(x+y)]- 10x2y2(x+y)

=-5xy(x+y)3+5x2y2(x+y).

Như vậy cần phải tìm cách biểu diễn xy theo t. Việc này được thực hiện:

1=x2+y2+z2=x2+y2+(x+y)2=2(x+y)2+2xy

<=>xy=(x+y)2-frac{1}{2}

Tới đây, bài toán được chuyển về việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(t) nên cần tìm tập giá trị của biến t. Việc này được thực hiện:

1 ≤(x+y)2 +2(frac{x+y}{2})^{2}=frac{3}{2}(x+y)2 =>-sqrt{frac{2}{3}}≤x+y≤sqrt{frac{2}{3}}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết