Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4 xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4 xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Kết hợp (x + y)3 + 4xy ≥ 2 với (x + y)2 ≥ 4xy suy ra: (x + y)3 + (x + y)2 ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1
A = 3(x4 + y4 + x2 y2) − 2(x2 + y2 ) + 1 = 
(x2 + y2)2 + (x4 + y4) − 2(x2 + y2) + 1 ≥ (x2 + y 2)2 + 
(x2 + y2)2 − 2(x2 + y2) + 1 ⇒ A ≥ 
( x2 + y 2)2 − 2(x2 + y2) + 1
Đặt t = x2 + y2 , ta có x2 + y2 ≥ 
≥ 
⇒ t ≥ ; do đó A ≥ t2 − 2t + 1.
Xét f(t) = t2 − 2t + 1; f'(t) = 
t - 2 > 0 với mọi t ≥ ⇒ 
f(t) = f() = 
A ≥ ; đẳng thức xảy ra khi x = y = . Vậy, giá trị nhỏ nhất của A bằng
Kết hợp (x + y)3 + 4xy ≥ 2 với (x + y)2 ≥ 4xy suy ra: (x + y)3 + (x + y)2 ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1
A = 3(x4 + y4 + x2 y2) − 2(x2 + y2 ) + 1 = (x2 + y2)2 + (x4 + y4) − 2(x2 + y2) + 1 ≥ (x2 + y 2)2 + (x2 + y2)2 − 2(x2 + y2) + 1 ⇒ A ≥ ( x2 + y 2)2 − 2(x2 + y2) + 1
Đặt t = x2 + y2 , ta có x2 + y2 ≥ ≥ ⇒ t ≥ ; do đó A ≥ t2 − 2t + 1.
Xét f(t) = t2 − 2t + 1; f'(t) = t - 2 > 0 với mọi t ≥ ⇒ f(t) = f() =
A ≥ ; đẳng thức xảy ra khi x = y = . Vậy, giá trị nhỏ nhất của A bằng
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Giải phương trình:
-
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Giải phương trình (1-
).![\sqrt[3]{2-x}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1031/75_220_2.gif)
= x. -
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).