Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện |a-b|+|b-c|+|c-a|+3.![\sqrt[3]{abc}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1108/1097_734_1.gif)
= 1. Chứng minh rằng: a
+ b
+ c
≤ 
.
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện |a-b|+|b-c|+|c-a|+3. = 1. Chứng minh rằng: a + b + c ≤ .
Đáp án đúng: B
Lời giải của Luyện Tập 365
Không mất tính tổng quát, giả sử a≥ b≥ c>0. Khi đó, từ giả thiết ta có
1=a-b+b-c+a-c+3![\sqrt[3]{abc}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1108/v1097_241_1.gif)
= 2a-2c+3 ≥ a+b-2c+3c = a+b+c.
Khi đó ta có
a
+b
+ c
= 
+
+ 
≤ ab+bc+ca ≤
≤ 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=.
Nhận xét: Chúng ta có thể giải theo cách khác như sau:
Không mất tính tổng quát, giả sử a≥b≥c>0. Khi đó, từ giả thiết ta có
1=a-b+b-c+a-c+3.= 2a-2c+.
Ta chứng minh
a+b+c ≤ ![(2a+\sqrt[3]{abc})^{2}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1108/v1097_110_18.gif)
(*)
Thật vậy bất đẳng thức (*) tương đương với.
3a+3b+3c ≤ = 4a2+ 4a. +![\sqrt[3]{abc}^{2}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1114/v1097_147947_23.gif)
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi và giả thiết a ≥ b ≥ c>0 ta có
= 4a2 +4a. ≥2![\sqrt{16a^{3}.\sqrt[3]{abc}}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1108/v1097_677_25.gif)
= 8a.![\sqrt[6]{a^{4}bc}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1108/v1097_774_26.gif)
≥ 8a![\sqrt[6]{b^{3}c^{3}}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1108/v1097_234_27.gif)
= 8a ≥ 3a+3b+2c
và = ![\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1108/v1097_864_33.gif)
≥ 8a![\sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{3}{2}}c^{3}}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1108/v1097_169_34.gif)
= c
Cộng hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=
Không mất tính tổng quát, giả sử a≥ b≥ c>0. Khi đó, từ giả thiết ta có
1=a-b+b-c+a-c+3 = 2a-2c+3 ≥ a+b-2c+3c = a+b+c.
Khi đó ta có
a +b+ c = + +
≤ ab+bc+ca ≤ ≤
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=.
Nhận xét: Chúng ta có thể giải theo cách khác như sau:
Không mất tính tổng quát, giả sử a≥b≥c>0. Khi đó, từ giả thiết ta có
1=a-b+b-c+a-c+3.= 2a-2c+.
Ta chứng minh
a+b+c ≤ (*)
Thật vậy bất đẳng thức (*) tương đương với.
3a+3b+3c ≤ = 4a2+ 4a. +.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi và giả thiết a ≥ b ≥ c>0 ta có
= 4a2 +4a. ≥2 = 8a.
≥ 8a = 8a ≥ 3a+3b+2c
và = ≥ 8a = c
Cộng hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=
Câu hỏi liên quan
-
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2. -
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Giải phương trình
=
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.
-
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Giải hệ phương trình
(x, y
R)