Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12622

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.


A.
a.VS.ABC = \frac{a^{3}\sqrt{7}}{12}; b.d(BC,SA) =  \frac{a\sqrt{42}}{9}.
B.
a.VS.ABC = \frac{a^{3}\sqrt{7}}{12}; b.d(BC,SA) =  \frac{a\sqrt{42}}{8}.
C.
a.VS.ABC = \frac{a^{3}\sqrt{7}}{12}; b.d(BC,SA) =  \frac{a\sqrt{41}}{8}.
D.
a.VS.ABC = \frac{a^{3}\sqrt{5}}{12}; b.d(BC,SA) =  \frac{a\sqrt{42}}{8}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

a.Thể tích khối chóp S.ABC được cho bởi: VS.ABC = \frac{1}{3}SABC.SH.  (1)

Trong đó: S∆ABC  = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}     (2)

Gọi D là trung điểm của AB, ta có : SH = HC.tan\widehat{SCH}

= \sqrt{HD^{2}+CD^{2}}.tan(SC,(ABC))

=\sqrt{(\frac{a}{2}-\frac{a}{3})^{2}+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}}.tan600 =  \frac{a\sqrt{21}}{3}(3)

Từ đó, bằng cách thay (2), (3) vào (1) ta được :

VS.ABC = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{21}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{7}}{12}

b.Kẻ Ax //BC. Gọi N và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN.

Ta có nhận xét : d(H,(SAN)) = HK.

\frac{1}{HK^{2}}=\frac{1}{SH^{2}} + \frac{1}{HN^{2}} = \frac{1}{SH^{2}} + \frac{1}{(AH.sin60^{0})^{2}} = \frac{24}{7a^{2}}

=>HK = \frac{a\sqrt{42}}{12}

Từ đó: BC//AN =>BC//(SAN) ; \frac{d(B,(SAN))}{d(H,(SAN))} = \frac{BA}{HA}=>d(BC,SA) = \frac{BA}{HA}.HK

= \frac{3}{2}.\frac{a\sqrt{42}}{12} = \frac{a\sqrt{42}}{8}.

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết