Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 11369

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x≥ y, x≥ z

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}


A.
minP = 2
B.
minP = \frac{34}{33}
C.
minP = 1
D.
minP = -\frac{34}{33}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}

Lấy đạo hàm theo z ta có: P'(z) = 0 + \small \frac{-y}{(y+z)^{2}} + \small \frac{x}{(z+x)^{2}} = \small \frac{(x-y)(z^{2}-xy)}{(y+z)^{2}(z+x)^{2}}

+Nếu x = y thì P = \frac{6}{5}

+Ta xét x > y thì P ≥ P(\sqrt{xy}) = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}

Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất khi z = \sqrt{xy}

Đặt t = \sqrt{\frac{x}{y}} ⇒ P thành f(t) = \small \frac{t^{2}}{2t^{2}+3} + \small \frac{2}{1+t} (t ∈ (1 ; 2])

⇒ f'(t) = \small \frac{-2[4t^{3}(t-1)+3(2t^{2}-t+3)]}{(2t^{2}+3)^{2}(t+1)^{2}} < 0 

Vậy P ≥ f(t) ≥ f(2) = \frac{34}{33}. Dấu "=" xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2. Vậy minP = \frac{34}{33}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết