Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 41157

Với mọi n ∈ N; n ≥ 3. Giải phương trình: \frac{1}{C_{3}^{3}} + \frac{1}{C_{4}^{3}} + \frac{1}{C_{5}^{3}} + ..... + \frac{1}{C_{n}^{3}} = \frac{89}{30}

Với mọi n ∈ N; n ≥ 3. Giải phương trình:  +  +  + .....

Câu hỏi

Nhận biết

Với mọi n ∈ N; n ≥ 3.

Giải phương trình: \frac{1}{C_{3}^{3}} + \frac{1}{C_{4}^{3}} + \frac{1}{C_{5}^{3}} + ..... + \frac{1}{C_{n}^{3}} = \frac{89}{30}


A.
n = 10
B.
n = 11
C.
n = 12
D.
n = 13
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có C_{k}^{3} = \frac{k!}{3!(k-3)!} = \frac{k(k-1)(k-2)}{6}

=> \frac{1}{C_{k}^{3}} = \frac{6}{k(k-1)(k-2)} (k ≥ 3)

Ta lại có \frac{1}{(k-1)(k-2)} - \frac{1}{k(k-1)} = \frac{2}{k(k-1)(k-2)}

Đặt f(k) = \frac{1}{(k-1)(k-2)} => \frac{1}{C_{k}^{3}} = 3(f(k) - f(k + 1))

Cho k chạy từ 3 tới n ta được

\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{C_{k}^{3}}= 3(f(3) - f(4)  + f(4) - f(5) + ... - f(n) + f(n) - f(n + 1))

\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{C_{k}^{3}}= 3(f(3) - f(n + 1)) = 3(1 - \frac{1}{n(n-1)})

Hay \frac{1}{C_{3}^{3}} + \frac{1}{C_{4}^{3}} + \frac{1}{C_{5}^{3}} + ..... + \frac{1}{C_{n}^{3}}  = 3(1 - \frac{1}{n(n-1)}) = \frac{89}{30}

<=> (\frac{n^{2}-n-1}{n^{2}-n}) = \frac{89}{30} <=> 90(n2 - n - 1) = 89n2 - 89n

<=> n2 - n - 90 = 0 <=> n = 10

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết