Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 42288

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = 16. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai e = \frac{1}{2} biết elip cắt đường tròn (C) tại 4 điểm A, B, C, D sao cho AB song song với trục Ox và AB = 2BC.

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = 16. Viết phương trình

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = 16. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai e = \frac{1}{2} biết elip cắt đường tròn (C) tại 4 điểm A, B, C, D sao cho AB song song với trục Ox và AB = 2BC.


A.
\frac{x^{2}}{\frac{221}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{81}{7}} = 1
B.
\frac{x^{2}}{\frac{256}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{64}{5}} = 1
C.
\frac{x^{2}}{\frac{221}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{64}{5}} = 1
D.
\frac{x^{2}}{\frac{221}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{81}{5}} = 1
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Giả sử elip có phương trình chính tắc: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1  (a > b)

Theo đề bài: e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} <=> \frac{c^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{4} <=> \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{4}

<=> b2 = \frac{3}{4}a2

Suy ra elip có phương trình: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{4y^{2}}{3a^{2}} = 1 <=>  3x2 + 4y2 = 3a2

Tọa độ các điểm A, B, C, D là nghiệm hệ:\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=16\: \: (1)\\ 3x^{2}+4y^{2}=3a^{2} \: \: (2)\end{matrix}\right.

Vì elip và đường tròn cùng nhận Ox; Oy là trục đối xứng và AB // Ox nên A, B đối xứng nhau qua Oy; C, D đối xứng nahu qua Ox

AB = 2BC nên 2│x│= 2.2│y│ <=> x2 = 4y2  (3)

Từ (1) và (2) ta tính được: \left\{\begin{matrix} x^{2}=64-3a^{2}\\ y^{2}=3a^{2}-48 \end{matrix}\right.

Thay vào (3) ta được: a^{2}=\frac{256}{15}

Vậy phương trình chính tắc của elip: \frac{x^{2}}{\frac{256}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{64}{5}} = 1

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết