Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 46277

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M(\frac{11}{2}, \frac{1}{2}) và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M(\frac{11}{2}, \frac{1}{2}) và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.


A.
A(4; 5),  A(1; -1)
B.
A(4; 5),  A(1; 1)
C.
A(4;-5),  A(1; -1)
D.
A(-4; 5),  A(1; -1)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi cạnh hình vuông là a tức AB = BC = CD = DA = a

Trong tam giác vuông AND ta có

AN = \sqrt{AD^2 + DN^2}

DN = \frac{1}{2}CN = \frac{1}{3}DC = \frac{1}{3}a

=> AN = \frac{a\sqrt{10}}{3}

Trong tam giác vuông AMB có BM =  \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a

AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

Tương tự trong tam giác vuông CMN ta tính được MN = \frac{5a}{6}

Theo định lí hàm số cosin trong tam giác MAN ta có

cosA = \frac{AM^2 + AN^2 - MN^2}{2AM.AN} = \frac{1}{\sqrt{2}} => \widehat{MAN} = 45o

Phương trình đường thẳng AM: ax + by - \frac{11}{2}a -  \frac{1}{2}b = 0 với vecto pháp tuyến \vec{n} = (a; b)

cos\widehat{MAN} = \frac{|2a - b|}{\sqrt{5(a^2 + b^2)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} <=>  3t2 – 8t – 3 = 0 (với t = \frac{a}{b})

<=> t = 3 hoặc t = - \frac{1}{3}

Với t = 3, => tọa độ A là nghiệm của hệ \left \{ \begin{matrix} 2x - y - 3 = 0 & \\ 3x + y - 17 = 0 & \end{matrix} => A(4; 5)

Với t = - \frac{1}{3}, => tọa độ A là nghiệm của hệ \left \{ \begin{matrix} 2x - y - 3 = 0 & \\ x - 3y - 4 = 0 & \end{matrix} => A(1; -1)

Vậy có 2 điểm thỏa mãn A(4; 5) hoặc A(1; -1)

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết