Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 565

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).


A.
800
B.
700
C.
900
D.
600
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì BM là đường trung tuyến của tam giác đều ABC cạnh bằng a√6 nên

BM = \frac{AB.\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{18}}{2}.

Suy ra BB'= 2BM = a√18.

Trong tam giác vuông SBB' (vuông tại B') ta có 

SB = \sqrt{SB'^{2}+BB'^{2}}=\sqrt{9a^{2}+18a^{2}} = 3a√3.

Từ ∆HBM \sim ∆BB'S (g.g) suy ra\frac{BH}{BB'} = \frac{BM}{BS}

=> BH =\frac{BB'.BM}{BS} = \frac{a\sqrt{18}.\frac{a\sqrt{18}}{2}}{3a\sqrt{3}} = a√3

Suy ra: \frac{d(H,(ABC)}{d(S,(ABC))} = \frac{BH}{BS} = \frac{a\sqrt{3}}{3a\sqrt{3}} = \frac{1}{3}

=> d(H,(ABC)) = a

Vậy VH.ABC = \frac{1}{3}.d(H,(ABC)).SABC = \frac{1}{3}.a.\frac{6a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}

Ta có AC⊥BM và AC⊥SB' nên Ac⊥(SBB')  => AC⊥SB.

Theo giả thiết SB⊥MH, do đó SB⊥(AHC).

Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC.

Từ ∆HBM \sim∆BB'S (g.g) suy ra \frac{BM}{BS} = \frac{MH}{SB'}

=> MH = \frac{BM.SB'}{BS} = \frac{\frac{a\sqrt{18}}{2}.3a}{3a\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

Trong tam giác AHC có đường trung tuyến HM bằng một nửa cạnh đối diện (AC = a√6) nên tam giác AHC vuông tại H.

Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 900 .

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết