Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6363

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O, đường kính AB = 2R. Cho O1 là điểm đối xứng của O qua A. Lấy điểm S sao cho SO­1 ⊥ (P) và SO1 = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn O và điểm S.

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O, đường kính AB = 2R. Cho O<

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O, đường kính AB = 2R. Cho O1 là điểm đối xứng của O qua A. Lấy điểm S sao cho SO­1 ⊥ (P) và SO1 = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn O và điểm S.


A.
V = \dpi{100} \frac{65}{48}\dpi{100} \sqrt{65}.\dpi{100} \pi.R3 (đvtt)
B.
V = \dpi{100} \sqrt{65}.\dpi{100} \pi.R3 (đvtt)
C.
V = \dpi{100} \frac{65}{48}.\dpi{100} \pi.R3 (đvtt)
D.
V = \dpi{100} \frac{65}{48}.R3 (đvtt)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước hết ta cần biết :

-Tâm của mặt cầu qua đường tròn bất kì trong không gian nằm trên trục của đường tròn là đường thẳng qua tâm đường tròn và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn. Trong bài này ta gọi trục đường tròn là ∆. Khi đó ∆ // SO1.

-Mặt cầu đi qua A, S ⇒ Tâm mặt cầu thuộc mặt phẳng trung trực của SA. Do SO1 // ∆

⇒ Có mặt phẳng (P) chứa SO1 , ∆. Vậy mặt phẳng trung trực của SA cắt (P) theo giao tuyến là trung trực của SA trong mặt phẳng (P). Gọi K là trung điểm của SA . Trong mặt phẳng (P) kẻ đường thẳng qua K vuông góc SA cắt ∆ ở O2. O2 là tâm mặt cầu cần tìm. Kí hiệu mặt cầu là (C). (C) có tâm O2, bán kính R1 = SO2 = O2A              (1)

Trong ∆AOO2 ⇒ O2A = \dpi{100} \sqrt{OO_{2}^{2}+OA^{2}} ; OA = R.        (2)

Trong  ∆SHO2 ⇒ SO2 = \dpi{100} \sqrt{SH^{2}+HO_{2}^{2}}      (O2H ⊥ SO1 )

= \dpi{100} \sqrt{(SO_{1}-O_{1}H)^{2}+O_{2}H^{2}}

= \dpi{100} \sqrt{4R^{2}+(2R-OO_{2})^{2}}                                      (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ OO22 + OA2 = 4R2 + (2R – OO2)2

⇔ OO22 + R2 = 4R2 + 4R2 – 4R.OO2 + OO22

⇔ OO2 = \dpi{100} \frac{7R}{4}

Vậy bán kính mặt cầu:

R1 = \dpi{100} \sqrt{\frac{49R^{2}}{4^{2}}+R^{2}} = \dpi{100} \sqrt{\frac{65R^{2}}{4^{2}}} = \dpi{100} \frac{R}{4}\dpi{100} \sqrt{65}

⇒ V = \dpi{100} \frac{4}{3}\dpi{100} \piR13 = \dpi{100} \frac{65}{48}\dpi{100} \sqrt{65}.\dpi{100} \pi.R3 (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết