Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12995

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x – 2y – z – 4 = 0, (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x – 2y – z – 4 = 0, (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.


A.
Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(-3 ; 0; 2).
B.
Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3 ; 0; -2).
C.
Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3 ;0; 2).
D.
Đường tròn (C) có bán kính bằng 3 và tâm H(3 ; 0; 2).
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Mặt cầu (S) có tâm I( 1; 2; 3) và bán kính R = 5.

Ta có: d(I, (P)) = \frac{|2.1-2.2-1.3-4|}{\sqrt{4+4+1}} = 3< R

=>(P) ∩ (S) = {C} là một đường tròn trong mặt phẳng (P).

Đương tròn (C) có bán kính r và tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

+Bán kính r được cho bởi r = \sqrt{R^{2}-IH^{2}}= \sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4

+Gọi (d) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P) ( có vtpt(2 ; -2; -1)), ta có :

(d) qua I(1; 2; 3) và vtcp \overrightarrow{n_{P}}(2; -2; -1) ⇔ (d): \left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\end{matrix}\right., t ∈ R.

+Khi đó tọa độ của H là nghiệm x, y, z của hệ phương trình:

\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\\2x-2y-z-4=0\end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\\2(1+2t)-2(2-2t)-(3-t)-4=0\end{matrix}\right.

=> \left\{\begin{matrix}x=3\\y=0\\z=2\end{matrix}\right.=> H(3; 0 ;2).

Vậy, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3; 0; 2).

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết