Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5170

Trong không gian với hệ tọa độ  Đề các vuông góc Oxyz cho họ đường thẳng dk : \frac{x-3}{k+1} = \frac{y+1}{2k+3} = \frac{z+1}{1-k}, trong đó k là tham số  ( k  ≠ ± 1; \frac{-3}{2} ). Chứng minh rằng họ đường thẳng dk luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định. Viết phương trình mặt phẳng đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho họ đường

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ  Đề các vuông góc Oxyz cho họ đường thẳng dk : \frac{x-3}{k+1} = \frac{y+1}{2k+3} = \frac{z+1}{1-k}, trong đó k là tham số  ( k  ≠ ± 1; \frac{-3}{2} ). Chứng minh rằng họ đường thẳng dk luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định. Viết phương trình mặt phẳng đó.


A.
(P) có phương trình – 5x + 2y + z +16 = 0 là mặt phẳng chứa dk với mọi k.
B.
(P) có phương trình – 5x + 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa dk với mọi k.
C.
(P) có phương trình  5x + 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa dk với mọi k.
D.
(P) có phương trình – 5x - 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa dk với mọi k.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Giả sử mặt phẳng cố định (P) luôn chứa dk với mọi k có phương trình Ax + By + Cz + D = 0, |A| + |B| + |C| ≠ 0.

Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là :\overrightarrow{n_{P}} = (A;B;C).

Điều kiện cần để dk ⊂ (P), ∀k là: \overrightarrow{u_{d_{k}}} ⊥ \overrightarrow{n_{P}} ⇔ \overrightarrow{u_{d_{k}}} .\overrightarrow{n_{P}} = 0 , ∀k (7)

(dk) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{d_{k}}} = ( k + 1; 2k + 3; 1 – k)

(7) ⇔ A(k + 1) + B(2k + 3) + C(1 – k) = 0; ∀k

⇔ (A + 2B – C)k + A + 3B + C = 0; ∀k

⇔ \left\{\begin{matrix}A+3B+C=0\\A+2B-C=0\end{matrix}\right.

⇔ \left\{\begin{matrix}A+C=-3B\\A-C=-2B\end{matrix}\right.  ⇔ \left\{\begin{matrix}A=-\frac{5}{2}B\\C=-\frac{B}{2}\end{matrix}\right.

Thay A, C vào phương trình mặt phẳng (P):

Ax + By + Cz + D   = 0 => - \frac{5}{2}Bx + By -\frac{Bz}{2} + D = 0 (*)

Để dk ⊂ (P) ta phải có: M(3;-1;-1), là một điểm trên dk, phải thuộc (P) hay

- \frac{5B}{2} . 3 – B + \frac{B}{2} + D = 0 => D=8B

Vậy phương trình của (P): - \frac{5}{2}Bx + By - \frac{Bz}{2} + 8B = 0 ⇔ - 5x + 2y – z + 16 = 0

Kết luận: (P) có phương trình – 5x + 2y –z +16 = 0 là mặt phẳng chứa dk với mọi k. Trường hợp k = -1, k= 1,  k = - \frac{3}{2} cũng có dk thuộc (P).

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết