Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 9580

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2 ; 0 ; -5), B(-3 ; -13 ; 7). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và tạo với mặt phẳng Oxz một góc nhỏ nhất

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2 ; 0 ; -5), B(-3 ; -13 ; 7)

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2 ; 0 ; -5), B(-3 ; -13 ; 7). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và tạo với mặt phẳng Oxz một góc nhỏ nhất


A.
5x – 13y – 12z + 70 = 0
B.
-5x – 13y – 12z - 70 = 0
C.
5x – 13y – 12z - 70 = 0
D.
5x + 13y – 12z - 70 = 0
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi \overrightarrow{n} = (a ; b ; c) (a2 + b2 + c2 ≠ 0) là vtpt của mặt phẳng (P), thì vì (P) đi qua A, B nên \overrightarrow{n} vuông góc với \overrightarrow{AB} = (-5 ; -13 ; 12)

⇒ \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} = 0 ⇒ -5a - 13b + 12c = 0 ⇒ b = \frac{-5a+12c}{13}

Gọi φ là góc giữa mp (P) và mp (Oxz) thì cosφ = \frac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{j}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{j}|}, trong đó \overrightarrow{j} = (0 ; 1 ; 0) là vtpt của mặt phẳng (Oxz). Vậy cosφ = \frac{|b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

 

Nếu b = 0 thì cosφ = 0 ⇒ φ = 900 có giá trị lớn nhất.

Nếu b ≠ 0 thì:

cosφ = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{b^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}}{b^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{169(a^{2}+c^{2})}{(-5a+12c)^{2}}+1}}

Ta có: (-5a + 12c)2 ≤ (25 + 144) (a2 + c2) = 169(a2 + c2), nên

 cosφ ≤ \sqrt{\frac{1}{1+1}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ⇒ φ ≥ 450

Dấu “=” xảy ra khi -12a = 5c. Chọn a = 5 thì c = -12 và b = -13

Vậy pt mp (P) là: 5(x – 2) - 13y – 12(z + 5) = 0 ⇔ 5x – 13y – 12z - 70 = 0

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết