Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 6037

Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = √5, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.

Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| =√5,

Câu hỏi

Nhận biết

Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = √5, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.


A.
|z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i
B.
|z| lớn nhất bằng √5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng \frac{1}{\sqrt{5}} <=> z = 1+2i
C.
|z| lớn nhất bằng 2√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i
D.
|z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1-2i
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo giả thiết

|z – 2 – 4i| = √5 <=>|(x - 2) + (y - 4)i| = √5

<=> (x – 2)2 + (y – 4)2 = 5 (C)        (1)

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z => M ∈ (C)

Khi đó |z|= OM = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Cho cát tuyến OAB của (C) và tiếp tuyến OT.

Ta có:

    OA.OB = OT2 = const => OA = \frac{OT^{^{2}}}{OB};

OA nhỏ nhất <=> OB lớn nhất <=> OB đi qua tâm I của (C).

Do vậy |z| lớn nhất khi M ≡ B; |z| nhỏ nhất khi M ≡ A.

Gọi d là đường thẳng đi qua O; I có \overrightarrow{OI}=(2;4) chọn vectơ pháp tuyến của (OI) là (2; -1), khi đó phương trình (OI): 2x - y = 0.

Giao điểm của OI và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

  \left\{\begin{matrix} 2x-y=0\\(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=5 \end{matrix}\right. <=> \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=1\\y=2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=3\\y=6 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}

Gọi A(1;2) => \overrightarrow{OA}=(1;2) => OA= √5; B(3; 6)

=> \overrightarrow{OB}=(3;6) => OB = 3√5.

Vậy |z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i;

|z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết