Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 50597

Tìm m để hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x - y\sqrt {y - 1} = 0\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m \end{array} \right.\,\, (x, y ∈ R)  có nghiệm.

Tìm m để hệ phương trình  (x, y ∈ R)  có nghiệm.

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm m để hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x - y\sqrt {y - 1} = 0\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m \end{array} \right.\,\, (x, y ∈ R)  có nghiệm.


A.
m ∈ [0; 5]
B.
m ∈ [0; 1]
C.
m ∈ [0; 3]
D.
m ∈ [0; 4]
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện:\left\{ \begin{array}{l} y \ge 1\\ x + y \ge 0\\ y - x \ge 0 \end{array} \right.

hệ phương trình đã cho tương đương với

\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x = {(\sqrt {y - 1} )^3} + \sqrt {y - 1} \,\,(1)\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right. (x, y ∈ R)

Xét hàm số f(t) = t3 + t; f’(t) = 3t2 + 1 >0 , ∀t

=> f(t) luôn đồng biến

Mà (1) có: f(x) = $f(\sqrt {y - 1} )$  => (1) <=> x = \sqrt {y - 1} 

<=> \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ y = {x^2} + 1 \end{array} \right.

Thay y vào (2) ta có \sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x + 1} = m(3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm thoả mãn

x ≥ 0 <=> m thuộc miền giá trị của hàm

g(x) =\sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x + 1} / [0; +∞)

g'(x) = \frac{{2x + 1e_2\sqrt {{x^2} + x + 1} - \frace_2x - 1e_2\sqrt {{x^2} - x + 1}

g'(x) = 0 < => (2x + 1)\sqrt e_x^2} - x + 1} = (2x - 1)\sqrt {{x^2}+ x + 1} 

<=> (2x + 1)(2x - 1) ≥ 0 và (x + \frac{1}{2})2[(x - \frac{1}{2})2 + \frac{3}{4}] = (x - \frac{1}{2})2[(x + \frac{1}{2})2 + \frac{3}{4}]

  <=> x ∈ Φ

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }g(x) = 1 lập bảng biến thiên ta được m ∈ [0; 1]

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết