Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 43934

Tìm hệ số của x3 trong khai triển Niuton của biểu thức (2 + 2x – x2 – x3 )n biết rằng:  C_n^0 - \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 - ... + (-1)^n\frac{1}{n + 1}C_n^n = \frac{1}{13}

Tìm hệ số của x3 trong khai triển Niuton của biểu thức (2 + 2x – x2 – x3 )n biết rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm hệ số của x3 trong khai triển Niuton của biểu thức (2 + 2x – x2 – x3 )n

biết rằng:  C_n^0 - \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 - ... + (-1)^n\frac{1}{n + 1}C_n^n = \frac{1}{13}


A.
76.211
B.
76.212
C.
7.211
D.
6.211
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo khai triển nhị thức Niuton ta có

(1 + x)n = C_n^0 + C_n^1x+ C_n^2x^2 + ... + C_n^nx^n

Lấy tích phân 2 vế với cận từ -1 đến 0 ta được

\int_{-1}^{0} (1 + x)ndx= \int_{-1}^{0}(C_n^0 + C_n^1x+ C_n^2x^2 + ... + C_n^nx^n)dx

=> \frac{(1 + x)^{n + 1}}{n + 1}\left | \begin{matrix} 0 & \\ -1 & \end{matrix} = (C_n^0 + C_n^1\frac{x^2}{2} + C_n^2\frac{x^3}{3} + ... + C_n^n\frac{x^{n + 1}}{n + 1})\left | \begin{matrix} 0 & \\ -1 & \end{matrix}

=> \frac{1}{n + 1} = C_n^0 - \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 - ...+ (-1)^n\frac{1}{n + 1}C_n^n = \frac{1}{13}

=> n = 12

Ta có (2 + 2x – x2 – x3 )12 = (1 + x )12 (2 – x2)12 do đó số hạng tổng quát của khai triển là:

 C_{12}^k.x^kC_{12}^l.2^{12 - l}(-x^2)^l = C_{12}^k.C_{12}^l.2^{12 - l}(-1)^l. x^{k + 2l}

với k, l là các số nguyên thỏa mãn 0 ≤ k, l ≤ 12

Để có x3 thì k + 2l  =3, từ đó ta tìm được k = 3, l = 0 hoặc k = l = 1

Do đó hệ số của x3 là: C_{12}^3.C_{12}^0.2^{12} - C_{12}^1.C_{12}^1.2^{11} = 76.211

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết