Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 5403

Giải phương trình: z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0. Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.

Giải phương trình: z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i

Câu hỏi

Nhận biết

Giải phương trình: z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0. Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.


A.
 z = 6i 
B.
 z = 4i 
C.
 z = 3i 
D.
 z = i 
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z = bi, thay vào phương trình ta có 

   (bi)3 + (1 – 2i)(bi)2 + (1 – i)(bi) – 2i = 0

⇔  (b - b2) + (-b3 + 2b2 + b -2)i = 0 ⇔ \left\{\begin{matrix} -b^{3}+2b^{2}+b-2=0\\b-b^{2}=0 \end{matrix}\right. => b = 1

=> Phương trình có nghiệm z = i

Ta có  z3 + (1 – 2i)z2+ (1 – 2i)z – 2i = 0 ⇔ \left\{\begin{matrix} z=i\\z^{2}+(1-i)z+2=0 \end{matrix}\right.  (1)

Giải (1) ∆  = -2i - 8; Giả dử w = x + yi là căn bậc hai của ∆ .

Ta có (x + yi)2 = -2i – 8 ⇔ \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-8\\2xy=-2 \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-8(2)\\xy=-1(3) \end{matrix}\right.

Thay vào (3) vào (2) ta có: (x + yi)2 = -2i – 8 x2 - = - 8 ⇔ x4 + 8x2 -1 = 0  

⇔ \begin{bmatrix} x=\sqrt{\sqrt{17}-4}\\x=-\sqrt{\sqrt{17}-4} \end{bmatrix} 

Lấy x = \sqrt{\sqrt{17}-4}  => y = \sqrt{\sqrt{17}+4} 

=> \sqrt{\Delta } = \sqrt{\sqrt{17}-4}  - \sqrt{\sqrt{17}+4} i

Vậy phương trình có nghiệm z = i hoặc z = \frac{i-1+\sqrt{\Delta }}{2a};

 z = \frac{i-1-\sqrt{\Delta }}{2a}.

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết