Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 5753

Giải phương trình : \sqrt{1-x} = 2x2 – 1 + 2x\sqrt{1-x^{2}}

Giải phương trình :

Câu hỏi

Nhận biết

Giải phương trình : \sqrt{1-x} = 2x2 – 1 + 2x\sqrt{1-x^{2}}


A.
x = \sqrt{\frac{-10+2\sqrt{5}}{-16}}
B.
x = \sqrt{\frac{-10+2\sqrt{5}}{16}}
C.
x = \sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}
D.
x = \sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện : \left\{\begin{matrix}1-x\geq 0\\1-x^{2}\geq 0\end{matrix}\right.   ⇔ \left\{\begin{matrix}x\leq 1\\-1\leq x\leq 1\end{matrix}\right.   ⇔  - 1 ≤  x ≤ 1.

Đặt x = sint; t ∈ [-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} ] phương trình trở thành:

\sqrt{1-sint} = 2sin2t – 1 + 2sint\sqrt{1-sin^{2}t}

⇔\sqrt{1-sint} = 2sin2t – 1 + 2sint.|cost|   (*)

Ta có: |cost| = cost do t ∈ [ -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}  ], nên:

(*)⇔ \sqrt{1-sint} = 2sin2t – 1 + 2sint.cost

⇔ \sqrt{1-sint} = sin2t – cos2t

⇔\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\1-sint=(sin2t-cos2t)^{2}=1-2sin2tcos2t=1-sin4t\end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\sint=sin4t\end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\\begin{bmatrix}4t=t+k2\pi\\4t=\pi -t+k2\pi \end{bmatrix}\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\\begin{bmatrix}t=\frac{k2\pi }{3}\\t=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}\end{bmatrix}\end{matrix}\right.

Do t ∈ [ -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} ], => t = 0; t = \frac{\pi }{5}; t = -\frac{\pi }{5}, ở đó t = 0 là khi k = 0 trong nhóm nghiệm (A);

Với t = \frac{\pi }{5}; t = - \frac{\pi }{5}là khi k  = 0; k = -1 trong nhóm nghiệm (B).

Với t = 0 =>sin2t = 0; cos2t = 1=>không thỏa mãn sin2t ≥ cos2t.

Với t = - \frac{\pi }{5}=>sin( -\frac{2\pi }{5} ) < 0; cos(-\frac{2\pi }{5} ) > 0 =>không thỏa mãn điều kiện sin2t ≥ cos2t.

Với t = \frac{\pi }{5}=> sin2t ≥ cos2t ⇔ sin\frac{2\pi }{5} ≥ cos\frac{2\pi }{5} => đúng do \frac{2\pi }{5}∈(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2})

Vậy phương trình có nghiệm: x = sin\frac{\pi }{5}

Tính sin\frac{\pi }{5}:

Ta có: \frac{3\pi }{5} + \frac{2\pi }{5} = π => sin\frac{3\pi }{5} = sin\frac{2\pi }{5}

⇔ 3sin\frac{\pi }{5} – 4 sin3\frac{\pi }{5}= 2sin\frac{\pi }{5}.cos\frac{\pi }{5}

⇔ 3 – 4sin2\frac{\pi }{5}= 2cos\frac{\pi }{5}( do sin\frac{\pi }{5} ≠ 0)

⇔ 4cos2\frac{\pi }{5}– 2cos\frac{\pi }{5} – 1 = 0

⇔\begin{bmatrix}cos\frac{\pi }{5}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\\cos\frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\end{bmatrix}

⇔ cos\frac{\pi }{5} =\frac{1+\sqrt{5}}{4} => sin\frac{\pi }{5} = \sqrt{1-cos^{2}\frac{\pi }{5}} = \sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}

Vậy x = \sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết