Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 57756

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ 2(1-x)\sqrt{x^{2}+x+1}+xy +3x -1=0 \end{matrix}\right. (x, y ∊ R)

Giải hệ phương trình:  (x, y ∊ R)

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ 2(1-x)\sqrt{x^{2}+x+1}+xy +3x -1=0 \end{matrix}\right. (x, y ∊ R)


A.
(x;y) = (\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})
B.
(x;y) = (\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2})
C.
(x;y) = (\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})
D.
(x;y) = (\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

(1) ,=> x + \sqrt{1+x^{2}}} = -y + \sqrt{1+y^{2}}

Xét hàm số f(u) = u + \sqrt{1+u^{2}}

Ta có f'(u) = 1 + \frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}} = \frac{\sqrt{1+u^{2}}+u}{\sqrt{1+u^{2}}}>\frac{\left | u \right |+u}{\sqrt{1+u^{2}}}\geq 0\forall u

=> hàm số f(u) đồng biến trên R

PT(1) có dạng f(x) = f(-y) <=> x = -y

thay y =-x vào PT thứ (2) của hệ ta được:

2(1-x) \sqrt{x^{2}+x+1}= x2 -3x+1

Đặt t = \sqrt{x^{2}+x+1} => x2 = t2 - x -1

PT trở thành t2 - 2(1-x)t - 4x = 0 => \begin{bmatrix} t=2\\ t=-2x \end{matrix}

Với t=2 ,=> \sqrt{x^{2}+x+1} =2 <=>  x2  +x +3 =0 <=< x= \frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}

Với t= 02x <=> \sqrt{x^{2}+x+1} = -2x <=> \left\{\begin{matrix} x<0\\ 3x^{2}-x-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x<0\\ x = \frac{1\pm \sqrt{13}}{6} \end{matrix}\right.  <=> x = \frac{1-\sqrt{13}}{6}

Vậy nghiệm của hệ là (x;y) = (\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết