Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 14829

Giải hệ phương trình : \left\{\begin{matrix}5x^{2}y-4xy^{2}+3y^{3}-2(x+y)=0\\xy(x^{2}+y^{2})+2=(x+y)^{2}\end{matrix}\right. ; (x; y ∈ R)

Giải hệ phương trình :

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình : \left\{\begin{matrix}5x^{2}y-4xy^{2}+3y^{3}-2(x+y)=0\\xy(x^{2}+y^{2})+2=(x+y)^{2}\end{matrix}\right. ; (x; y ∈ R)


A.
Hệ phương trình có bốn cặp nghiệm: (1;1), (-1; -1), (\frac{2\sqrt{10}}{5} ; \frac{\sqrt{10}}{5}), ( -\frac{2\sqrt{10}}{5} ; \frac{\sqrt{10}}{5} ).
B.
Hệ phương trình có bốn cặp nghiệm: (1;1), (-1; -1), (\frac{2\sqrt{10}}{5} ; \frac{\sqrt{10}}{5}), ( \frac{2\sqrt{10}}{5} ; - \frac{\sqrt{10}}{5} ).
C.
Hệ phương trình có bốn cặp nghiệm: (1;1), (1; -1), (\frac{2\sqrt{10}}{5} ; \frac{\sqrt{10}}{5}), ( -\frac{2\sqrt{10}}{5} ; - \frac{\sqrt{10}}{5} ).
D.
Hệ phương trình có bốn cặp nghiệm: (1;1), (-1; -1), (\frac{2\sqrt{10}}{5} ; \frac{\sqrt{10}}{5}), ( -\frac{2\sqrt{10}}{5} ; - \frac{\sqrt{10}}{5} ).
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Kí hiệu các phương trình trong hệ theo thứ tự là (1), (2).

Biến đổi phương trình (2) về dạng : xy(x2 + y2) + 2 = x2 + y2 + 2xy

⇔ (xy – 1)(x2 + y2) + 2 – 2xy = 0

⇔ (xy – 1)( x2 + y2) – 2(xy – 1) = 0

⇔ (xy – 1)( x2 + y2 – 2) = 0

⇔ \begin{bmatrix}xy-1=0\\x^{2}+y^{2}-2=0\end{bmatrix}

⇔ \begin{bmatrix}xy=1\\x^{2}+y^{2}=2\end{bmatrix}

Ta lần lượt:

+ Với xy = 1 thì (1) có dạng : 5x – 4y + 3y3 – 2(x + y) = 0

⇔ 3y3 – 6y + 3x = 0

⇔ y3 – 2y + \frac{1}{y} = 0

⇔ y4 – 2y2 + 1 = 0 ⇔ ( y2 – 1)2 = 0

⇔ y2 = 1

⇔ \begin{bmatrix}y=1\Rightarrow x=1\\y=-1\Rightarrow x=-1\end{bmatrix}

+ Với x2 + y2 = 2 thì (1) có dạng : 3y(x2 + y2) + 2x2y – 4xy2  - 2(x + y) = 0

⇔ 4y + 2x2y – 4xy2 – 2x = 0

⇔ 2y + xy(x – 2y) – x = 0

⇔ (xy – 1)(x – 2y) = 0

⇔ \begin{bmatrix}xy-1=0\\x-2y=0\end{bmatrix}

⇔  \begin{bmatrix}xy=1\\x=2y\end{bmatrix} (trong đó xy =1 đã xét)

Khi đó x2 + y2 = 2 có dạng : (2y)2 + y2 = 2

⇔  5y2 = 2

⇔ \begin{bmatrix}y=\frac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{10}}{5}\\y=-\frac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow x=-\frac{2\sqrt{10}}{5}\end{bmatrix}

Vậy, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm: (1;1), (-1; -1), (\frac{2\sqrt{10}}{5} ; \frac{\sqrt{10}}{5}), ( -\frac{2\sqrt{10}}{5} ; - \frac{\sqrt{10}}{5} ).

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết