Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 42374

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} 1+x^{2}+y^{2}=5x+2xy\\ xy^{2}-2y(y^{2}+y+1)=2(x+1) \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})

Giải hệ phương trình:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} 1+x^{2}+y^{2}=5x+2xy\\ xy^{2}-2y(y^{2}+y+1)=2(x+1) \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})


A.
(x; y) = (2; -1), (10; 3), (13; 5)
B.
(x; y) = (2; -1), (10; 3), (1; -1), (13; 5)
C.
(x; y) = (2; -1), (10; 3), (1; -1)
D.
(x; y) = (10; 3), (1; -1), (13; 5)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Hệ phương trình tương đương với: \left\{\begin{matrix} (1+y^{2})+x(x-2y)=5x\\ (1+y^{2})(x-2y-2)=2x \end{matrix}\right.(I)

* Nếu x = 0 thì hệ (I) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+y^{2}=0\\ (1+y^{2})(2y-2)=0 \end{matrix}\right.   (vô nghiệm)

* Nếu x ≠ 0 thì chia cả 2 vế của cả 2 phương trình trong hệ cho x ta được hệ tương đương:

\left\{\begin{matrix} \frac{1+y^{2}}{x}+(x-2y)=5\\ \frac{1+y^{2}}{x}(x-2y-2)=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1+y^{2}}{x}+(x-2y-2)=3 \\ \frac{1+y^{2}}{x}(x-2y-2)=2 \end{matrix}\right.

Đặt u = \frac{1+y^{2}}{x}, v = x - 2y - 2, ta được hệ phương trình:

\left\{\begin{matrix} u+v=3\\ uv=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u=1\\ v=2 \end{matrix}\right. hoặc \left\{\begin{matrix} u=2\\ v=1 \end{matrix}\right.

+) Với \left\{\begin{matrix} u=2\\ v=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1+y^{2}}{x}=1\\ x-2y-2=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1+y^{2}\\ x=2y+4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2y+4\\ y^{2}-2y-3=0 \end{matrix}\right.

<=> x = 2y + 4 và y = -1 hoặc x = 2y + 4 và y = 3

<=> \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=10\\ y=3 \end{matrix}\right.

+) Với u = \left\{\begin{matrix} u=2\\ v=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1+y^{2}}{x}=2\\ x-2y-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x=1+y^{2}\\ x=2y+3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2y+3\\ y^{2}-4y-5=0 \end{matrix}\right.

<=> x = 2y + 3 và y = -1 hoặc x = 2y + 3 và y = 5

<=> \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=-1 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=13\\ y=5\end{matrix}\right.

KL: Vậy hệ ban đầu có 4 nghiệm là (x; y) = (2; -1), (10; 3),(1; -1), (13; 5)

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết