Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Mũ Và Lôgarit / Câu hỏi 42352

Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} x^{2}y+y^{3}-y^{2}+y=x^{2}+1\\ (6x+y)log_{\frac{1}{2}}^{2}(x+y)+(x-y)log_{\sqrt{2}}(x+y)^{3}-7=0 \end{matrix}\right.

Giải hệ phương trình

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} x^{2}y+y^{3}-y^{2}+y=x^{2}+1\\ (6x+y)log_{\frac{1}{2}}^{2}(x+y)+(x-y)log_{\sqrt{2}}(x+y)^{3}-7=0 \end{matrix}\right.


A.
 (x; y) =(- \frac{3}{4}; 1); (1, 1); (- \frac{1}{2}; 1)
B.
 (x; y) = (- \frac{3}{4}; 1); (1, 1); (- \frac{1}{2}; -1)
C.
 (x; y) = (- \frac{3}{4}; 1); (1, -1); (- \frac{1}{2}; 1)
D.
 (x; y) = (- \frac{3}{4}; -1); (1, 1); (- \frac{1}{2}; 1)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt \left\{\begin{matrix} x^{2}y+y^{3}-y^{2}+y=x^{2}+1\: \: \: (1)\\ (6x+y)log_{\frac{1}{2}}^{2}(x+y)+(x-y)log_{\sqrt{2}}(x+y)^{3}-7=0 \: \: \: (2) \end{matrix}\right.

Điều kiện x + y > 0; x > y.

Từ (1) ta có (y - 1)(x2 + y2 + 1) = 0 ⇔ y = 1

Thế vào (2) ta được:  (6x + 1)log_{2}^{2}(x + 1) + 6(x - 1)log2(x + 1) – 7 = 0 (3)

Với x = - \frac{1}{6} không phải là nghiệm.

Với x ≠ - \frac{1}{6} lúc này (3) ⇔ \left [ \begin{matrix} {log_{2}(x+1)=-1}.\\ {log_{2}(x+1)=\frac{7}{6x+1}} \end{matrix}

+ Với log2(x + 1) = -1 ⇔ x = - \large \frac{1}{2} => (x, y) = (- \large \frac{1}{2}; 1) là nghiệm.

+ Với  log2(x + 1) = \frac{7}{6x+1}.với x ∈ (-1; - \frac{1}{6})  ∪ (- \frac{1}{6} ; +∞)

Tac có  x ∈ (-1;- \frac{1}{6}) vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến

mà VT(- \frac{3}{4}) = VP(- \frac{3}{4}) nên trên  x ∈ (-1; - \frac{1}{6}) thì x = - \frac{3}{4} là duy nhất thỏa mãn

Ta có  (- \frac{1}{6} ; +∞) vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến mà

VT(1) = VP(1) nên trên  (- \frac{1}{6} ; +∞) thì x = 1 là nghiệm duy nhất thỏa mãn 

Như vậy hệ đã cho có 3 nghiệm (x; y) = (- \frac{3}{4}; 1); (1, 1); (- \frac{1}{2}; 1).

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết