Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 6061

Chứng minh rằng với mọi x , y ta luôn có: e^{\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y} ≤ \frac{2}{3}ex + \frac{1}{3}ey.

Chứng minh rằng với mọi x , y ta luôn có:

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng với mọi x , y ta luôn có:
e^{\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y} ≤ \frac{2}{3}ex + \frac{1}{3}ey.


A.
Dấu bằng xảy ra khi t = 0 cũng có nghĩa là khi x = y
B.
Dấu bằng xảy ra khi t = 0 cũng có nghĩa là khi x = -y
C.
Dấu bằng xảy ra khi t < 0 cũng có nghĩa là khi x = y
D.
Dấu bằng xảy ra khi t > 0 cũng có nghĩa là khi x = y
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Bất đẳng thức tương đương với:

e^{\frac{2}{3}(x-y)} ≤ \frac{2}{3}e(x – y) + \frac{1}{3} ⇔ e^{\frac{2}{3}(x-y)} - \frac{2}{3}e(x – y) - \frac{1}{3} ≤ 0               (1)

Xét hàm số: f(t) = e^{\frac{2t}{3}} - \frac{2}{3}et - \frac{1}{3} . Ta có: f'(t) = \frac{2}{3}e^{\frac{2t}{3}} - \frac{2}{3}et ⇒ f'(t) = 0

⇔  \frac{2}{3}e^{\frac{2t}{3}} - \frac{2}{3}et = 0 ⇔ t = 0 ⇒ f'(t) < 0 ⇔ e^{\frac{2t}{3}} < e^{\frac{t}{3}} ⇔ \frac{2t}{3} < \frac{t}{3} ⇔ t > 0

Tương tự: f'(t) > 0 ⇔ t < 0

⇒ f(t) = e^{\frac{2t}{3}} - \frac{2}{3}et - \frac{1}{3} ≤ f(0) = 0, ∀t ⇒ e^{\frac{2(x-y)}{3}} -  \frac{2}{3}e(x – y) - \frac{1}{3} ≤ 0 ∀x , y

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi t = 0 cũng có nghĩa là khi x = y

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết