Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 Ta có: 
+
+
≤1 Dấu "=" xảy ra khi:
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 Ta có: ++≤1 Dấu "=" xảy ra khi:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
a2b2+b2c2+c2a2+a2b2c2 ≥4
Đặt x=ab, y=bc, z=ca ta cần chứng minh x2+y2+z2+xyz≥4 với mọi x,y,z không âm thỏa mãn: x+y+z=3
Không làm mất tính tổng quát giả sử x≤y; x≤z thì x≤1 ta có:
x2+y2+z2+xyz-4= x2+(y+z)2+yz(x-2)-4 ≥x2+(y+z)2(x-2)-4
=x2+
(3-x)2-4=
(x-1)2(x+2) ≥0
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
a2b2+b2c2+c2a2+a2b2c2 ≥4
Đặt x=ab, y=bc, z=ca ta cần chứng minh x2+y2+z2+xyz≥4 với mọi x,y,z không âm thỏa mãn: x+y+z=3
Không làm mất tính tổng quát giả sử x≤y; x≤z thì x≤1 ta có:
x2+y2+z2+xyz-4= x2+(y+z)2+yz(x-2)-4 ≥x2+(y+z)2(x-2)-4
=x2+(3-x)2-4=(x-1)2(x+2) ≥0
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Câu hỏi liên quan
-
Tính tích phân I =
-
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2. -
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Tính tích phân I=
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.