Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14355

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn:x(x+y+z)=3yz,Ta có:(x+y)3+(x+z)3+3(x+y)(x+z)(y+z) ≤5(y+z)3.Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn:x(x+y+z)=3yz

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn:

x(x+y+z)=3yz,

Ta có:

(x+y)3+(x+z)3+3(x+y)(x+z)(y+z) ≤5(y+z)3.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:


A.
x=y#z
B.
x#y; y#z
C.
x=y
D.
x=y=z
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt: left{begin{matrix} a=x+y\b=x+z \c=y+z end{matrix}right. =>left{begin{matrix} x=frac{1}{2}(a-b+c)\y=frac{1}{2}(a+b-c) \z=frac{1}{2}(-a+b+c) end{matrix}right.

Khi đó, điều kiện x(x+y+z)=3yz trở thành:

c2=a2+b2-ab                                                                   (1)

<=> c2=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-frac{3}{4}(a+b)2= frac{1}{4}(a+b)2

<=> a+b≤ 2c                                                                (2)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

a3+b3+3abc ≤5c3 <=>(a+b)(a2+b2-ab)+3abc ≤ 5c3

Từ (1) <=> (a+b)c2+3abc ≤ 5c3 <=>(a+b)c+3ab ≤ 5c2.     (3)

Từ (2) ta có: (a+b)c ≤ 2c2                                                 (4)

Mặt khác: ab≤frac{1}{4}(a+b)2 ≤frac{1}{4}(2c)2=c2 <=> 3ab ≤3c2                   (5)

Cộng theo vế (4) ,(5)ta được bất đẳng thức cần chứng minh (3).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: left{begin{matrix} c^{2}=a^{2}+b^{2}\a=b=c end{matrix}right.<=>x=y=z

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết