Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12894

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz,  ta có: (x + y)3 + ( x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3y

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz,  ta có: (x + y)3 + ( x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3


A.
 (a - b)c ≤ 2c2 và 3ab ≤ (a - b)2 ≤ 3c2 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c ⇔ x = y = z
B.
 (a + b)c ≤ 2c2 và 3ab ≤ (a + b)2 ≤ 3c2 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c ⇔ x = y = z
C.
 (a - b)c ≤ 2c2 và 3ab ≤ (a + b)2 ≤ 3c2 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c ⇔ x = y = z
D.
 (a + b)c ≤ 2c2 và 3ab ≤ (a - b)2 ≤ 3c2 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c ⇔ x = y = z
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt a = x + y, b = x + z và c = y + z.

Điều kiện x( x + y + z) = 3 yz trở thành: c2 = a2 + b2 - ab

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

a 3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ;  a, b, c dương thoả mãn điều kiện trên.

c2 = a2 + b2 - ab = (a + b)2 - 3ab ≥ (a + b)2 – \frac{3}{4}(a + b)2 = \frac{1}{4}(a + b)2 ⇒ a + b ≤ 2c (1)

 a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ⇔ (a + b)(a2 + b2 – ab) + 3abc ≤ 5c3

⇔ (a + b)c2 + 3abc ≤ 5c3 ⇔ (a + b)c + 3ab ≤ 5c2

(1) cho ta: (a + b)c ≤ 2c2 và 3ab ≤ (a + b)2 ≤ 3c2; từ đây suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c ⇔ x = y = z

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết