Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12915

Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x+y=z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}

Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x+y=z=3. Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x+y=z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}


A.
P_{max}=2
B.
P_{max}=6
C.
P_{max}=3
D.
P_{max}=1
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo bất đẳng thức Côsi ta có: xy+zx\geq 2x\sqrt{yz}

yz+xy\geq 2y\sqrt{zx}; zx+yz\geq 2z\sqrt{xy}

=> xy+yz+zx\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}                (*)

Cũng theo BĐT Côsi thì: x^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 4x\sqrt{yz}

y^{2}+y^{2}+z^{2}+x^{2}\geq 4y\sqrt{zx}

z^{2}+z^{2}+x^{2}+y^{2}\geq 4z\sqrt{xy}

=> x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}     (**)

Từ (*) và (**) suy ra 3(x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy})\leq (x+y+z)^{2}

<=>x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}\leq 3

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1. Vậy: P_{max}=3

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết