Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13965

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=frac{x}{2x+3y}+frac{y}{y+z}+frac{z}{x+z}

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nh

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=frac{x}{2x+3y}+frac{y}{y+z}+frac{z}{x+z}


A.
 Pmin=frac{34}{33} 
B.
 Pmin=frac{3}{4} 
C.
 Pmin=frac{14}{33}
D.
 Pmin=frac{34}{23}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước tiên ta đi chứng minh:

frac{1}{1+a}+frac{1}{1+b}≥frac{2}{1+sqrt{ab}}, với a,b dương và ab≥1

Thật vậy, biến đổi bất đẳng thức về dạng:

frac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}≥frac{2}{1+sqrt{ab}} <=> (a+b+2)(1+sqrt{ab})≥2(1+a)(1+b)

<=>(a+b)sqrt{ab}+2sqrt{ab}≥a+b+2ab <=>(a+b)(sqrt{ab}-1)-2sqrt{ab}(sqrt{ab}-1)≥0

<=>(a+b-2sqrt{ab})sqrt{ab}-1)≥0 <=>(sqrt{a}-sqrt{b})^{2}(sqrt{ab}-1)≥0

Bất đẳng thức trên luôn đúng với a,b dương, ab≥1 và dấu "=" xay ra khi và chỉ khi a=b hoặc ab=1

Áp dụng bất đẳng thức trên, bằng việc viết lại P dưới dạng:

P=frac{1}{2+3frac{y}{x}}+frac{1}{1+frac{z}{y}}+frac{1}{1+frac{x}{z}}≥frac{1}{2+3frac{y}{x}}+frac{2}{1+sqrt{frac{x}{y}}}

Dấu "=" xảy ra khi frac{z}{y}=frac{x}{z} hoặc frac{x}{y}=1

Đặt t=sqrt{frac{x}{y}}, t∈[1;2] xét hàm số g(t)=frac{1}{2+frac{3}{t^{2}}}+frac{2}{1+t}==frac{t^{2}}{2t^{2}+3}+frac{2}{1+t}

Trên [1;2]

Ta có:

g'(t)=frac{2t(2t^{2}+3)-4t.2t^{2}}{(2t^{2}+3)^{3}} - frac{2}{(1+t)^{2}}

=frac{2[t(2t^{2}+3)-4t^{3}](1+t)^{2}-2(2t^{2}+3)^{2}}{(2t^{2}+3)^{2}(1+t)^{2}}

= - frac{2[t^{3}(4t-3)+3t(2t-1)+9]}{(2t^{2}+3)^{2}(1+t)^{2}} <0

=> Hàm số g(t) nghịch biến trên [1;2] => g(t)≥g(2)=frac{34}{33}

Dấu "=" xảy ra khi: t=2<=> sqrt{frac{x}{y}}=2 <=> frac{x}{y}=4<=> x=4y<=> left{begin{matrix} x=4\y=1 end{matrix}right.

Từ đó ta có Pmin=frac{34}{33} đạt được khi:

left{begin{matrix} x=4,y=1\frac{z}{y}=frac{x}{z} end{matrix}right.<=> left{begin{matrix} x=4,y=1\z=2 end{matrix}right.

Vậy ta có Pmin=frac{34}{33} đạt được khi x=4, y=1,z=2

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết