Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13965

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=frac{x}{2x+3y}+frac{y}{y+z}+frac{z}{x+z}

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nh

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=frac{x}{2x+3y}+frac{y}{y+z}+frac{z}{x+z}


A.
 Pmin=frac{34}{33} 
B.
 Pmin=frac{3}{4} 
C.
 Pmin=frac{14}{33}
D.
 Pmin=frac{34}{23}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước tiên ta đi chứng minh:

frac{1}{1+a}+frac{1}{1+b}≥frac{2}{1+sqrt{ab}}, với a,b dương và ab≥1

Thật vậy, biến đổi bất đẳng thức về dạng:

frac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}≥frac{2}{1+sqrt{ab}} <=> (a+b+2)(1+sqrt{ab})≥2(1+a)(1+b)

<=>(a+b)sqrt{ab}+2sqrt{ab}≥a+b+2ab <=>(a+b)(sqrt{ab}-1)-2sqrt{ab}(sqrt{ab}-1)≥0

<=>(a+b-2sqrt{ab})sqrt{ab}-1)≥0 <=>(sqrt{a}-sqrt{b})^{2}(sqrt{ab}-1)≥0

Bất đẳng thức trên luôn đúng với a,b dương, ab≥1 và dấu "=" xay ra khi và chỉ khi a=b hoặc ab=1

Áp dụng bất đẳng thức trên, bằng việc viết lại P dưới dạng:

P=frac{1}{2+3frac{y}{x}}+frac{1}{1+frac{z}{y}}+frac{1}{1+frac{x}{z}}≥frac{1}{2+3frac{y}{x}}+frac{2}{1+sqrt{frac{x}{y}}}

Dấu "=" xảy ra khi frac{z}{y}=frac{x}{z} hoặc frac{x}{y}=1

Đặt t=sqrt{frac{x}{y}}, t∈[1;2] xét hàm số g(t)=frac{1}{2+frac{3}{t^{2}}}+frac{2}{1+t}==frac{t^{2}}{2t^{2}+3}+frac{2}{1+t}

Trên [1;2]

Ta có:

g'(t)=frac{2t(2t^{2}+3)-4t.2t^{2}}{(2t^{2}+3)^{3}} - frac{2}{(1+t)^{2}}

=frac{2[t(2t^{2}+3)-4t^{3}](1+t)^{2}-2(2t^{2}+3)^{2}}{(2t^{2}+3)^{2}(1+t)^{2}}

= - frac{2[t^{3}(4t-3)+3t(2t-1)+9]}{(2t^{2}+3)^{2}(1+t)^{2}} <0

=> Hàm số g(t) nghịch biến trên [1;2] => g(t)≥g(2)=frac{34}{33}

Dấu "=" xảy ra khi: t=2<=> sqrt{frac{x}{y}}=2 <=> frac{x}{y}=4<=> x=4y<=> left{begin{matrix} x=4\y=1 end{matrix}right.

Từ đó ta có Pmin=frac{34}{33} đạt được khi:

left{begin{matrix} x=4,y=1\frac{z}{y}=frac{x}{z} end{matrix}right.<=> left{begin{matrix} x=4,y=1\z=2 end{matrix}right.

Vậy ta có Pmin=frac{34}{33} đạt được khi x=4, y=1,z=2

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết