Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36116

Cho x,y,z là 3 số thực dương. Chứng minh rằng  \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\leq \frac{-3}{4}

Cho x,y,z là 3 số thực dương. Chứng minh rằng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,z là 3 số thực dương. Chứng minh rằng 

\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\leq \frac{-3}{4}


A.
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\leq \frac{-3}{4}
B.
\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq \frac{-3}{4}
C.
\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}= \frac{-3}{4}
D.
\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}< \frac{-3}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt P = \frac{1}{x+y+z}[\frac{x^{3}}{y(2z+x)}+\frac{y^{3}}{z(2x+y)}\frac{z^{3}}{x(2y+z)}]

Ta có \frac{x^{3}}{y(2z+x)}+\frac{y}{3} + \frac{2z+x}{9} ≥ x

\frac{y^{3}}{z(2x+y)}+\frac{z}{3} + \frac{2x+y}{9}≥  y

\frac{z^{3}}{x(2y+z)}+\frac{x}{3} + \frac{2y+z}{9}≥ z

Cộng vế ta được \frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{y^{3}}{yz+2zx}+\frac{z^{3}}{xz+2xy} ≥ \frac{x+y+z}{3}

Hay P ≥ 1 .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =y = z =1   (*)

Đặt Q = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}

Ta có  x2 + y2 +z2 + 1 ≥ \frac{1}{2}(x+ y)2 + \frac{1}{2}(z +1)2 ≥ \frac{1}{4}(x+ y + z +1)2

Vì a2 + b2  ≥ \frac{1}{2}(a+ b)2 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 

(x +1)(y+ 1)(z +1) ≤ (\frac{x+y+z+3}{3})^{3} dấu = xảy ra khi x = y = z

Do đó Q ≤ \frac{2}{x+y+z+1}-\frac{54}{(x+y+z+3)^{3}}, đặt t = x + y + z + 1 > 1

Ta được Q ≤ f(t) = \frac{2}{t}-\frac{54}{(t+2)^{3}}. Xét hàm số f(t) trên (1; +∞)

f'(t) = \frac{-2}{t^{2}}+\frac{162}{(t+2)^{4}} = 0 ⇔ t = 1(loại) hoặc t = 4

Lập BBT ta được f(t)≤ \frac{1}{4} = f(4)

Vậy Q ≤ \frac{1}{4} dấu bằng xảy ra khi x= y = z =1 (**). Từ (*) và (**) suy ra đpcm

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết