Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14092

Cho x,y,zgeq0 thoả mãn x+y+z>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P=frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{(x+y+z)^{3}}

Cho x,y,z

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,zgeq0 thoả mãn x+y+z>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{(x+y+z)^{3}}


A.
frac{16}{27}
B.
frac{64}{27}
C.
frac{64}{81}
D.
frac{16}{81}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước hết ta có: x^{3}+y^{3}geq frac{(x+y)^{3}}{4} (chứng minh bằng cách biến đổi tương đương)

Đặt x+y+z=a. Khi đó 4Pgeq frac{(x+y)^{3}+64z^{3}}{a^{3}}=frac{(a-z)^{3}+64z^{3}}{a^{3}}=(1-t)^{3}+64t^{3}

Với t=frac{z}{a} ,(0leq tleq 1)

Xét hàm số: f(t)=(1-t)^{3}+64t^{3} với tin [0;1]

Ta có: f'(t)=3[64t^{2}-(1-t)^{2}]

f'(t)=0<=>t=frac{1}{9}in [0;1]

Lập bảng biến thiên=>Minf(t)=frac{64}{81}

=>GTNN của P là frac{16}{81} đạt được khi x=y=4z>0

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết