Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3950

Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x2+y2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})

Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x2+y2

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x2+y2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})


A.
3\sqrt{2}+4
B.
\sqrt{2}+2
C.
1+2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{2}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta viết lại: A=(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+2

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:

x+\frac{1}{2x} ≥ 2\sqrt{x.\frac{1}{2x}} =\sqrt{2}, dấu "=" xảy ra khi x=\frac{1}{2x};

y+\frac{1}{2y} ≥2\sqrt{y.\frac{1}{2y}}= \sqrt{2},  dấu "=" xảy ra khi y=\frac{1}{2y}; 

\frac{x}{y}+\frac{y}{x} ≥2, dấu "=" xảy ra khi \frac{x}{y}=\frac{y}{x};

\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) ≥ \frac{2}{2\sqrt{xy}} = \frac{1}{\sqrt{xy}}  ≥ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}  ≥ \sqrt{2}, dấu "=" xảy ra khi \frac{1}{x}=\frac{1}{y}

Vậy A=2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+2+\sqrt{2} =3\sqrt{2}+4.

Dấu "=" xảy ra <=> x,y thỏa mãn hệ \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2x}\\y=\frac{1}{2y} \\\frac{x}{y}=\frac{y}{x} \\\frac{1}{x}=\frac{1}{y}; x^{2}+y^{2}=1 \end{matrix}\right.<=> x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}Kết luận: GTNN của A=3\sqrt{2}+4 khi x=y=\frac{\sqrt{2}}{2} thì A=3\sqrt{2}+4

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết