Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39368

Cho \frac{1}{3} < x ≤ \frac{1}{2} và y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x2 + y2 + \frac{x^{2}y^{2}}{[(4x-1)y-x]^{2}}

Cho < x ≤  và y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x2 +

Câu hỏi

Nhận biết

Cho \frac{1}{3} < x ≤ \frac{1}{2} và y ≥ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x2 + y2 + \frac{x^{2}y^{2}}{[(4x-1)y-x]^{2}}


A.
MinP = \frac{9}{4}
B.
MinP =  \frac{3}{4}
C.
MinP = \frac{5}{4}
D.
MinP = \frac{7}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, 0 < b ≤ 1, 2 ≤ a < 3, P = \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{(4-a-b)^{2}}

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho \frac{1}{b^{2}},\frac{1}{(4-a-b)^{2}} ta có:

P ≥  \frac{1}{a^{2}}+\frac{2}{(4-a-b)b} ≥ \frac{1}{a^{2}}+\frac{8}{(4-a)^{2}} (áp dụng cô si cho 4 - a - b)

≥ \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(4-a)^{2}}+\frac{7}{(4-a)^{2}}≥\frac{2}{(4-a)a}+\frac{7}{(4-a)^{2}} 

(cô-si cho \frac{1}{a^{2}} và \frac{1}{(4-a)^{2}})

≥ \frac{9}{4} ( vì (4 - a)a ≤ 4 và (4 – a )2 ≤ 4 (với 2 ≤ a < 3)

Dấu bằng xảy ra khi \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1 \end{matrix}\right. tức \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=1 \end{matrix}\right. 

Vậy MinP = \frac{9}{4}.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết