Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 11369

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x≥ y, x≥ z

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}


A.
minP = 2
B.
minP = \frac{34}{33}
C.
minP = 1
D.
minP = -\frac{34}{33}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}

Lấy đạo hàm theo z ta có: P'(z) = 0 + \small \frac{-y}{(y+z)^{2}} + \small \frac{x}{(z+x)^{2}} = \small \frac{(x-y)(z^{2}-xy)}{(y+z)^{2}(z+x)^{2}}

+Nếu x = y thì P = \frac{6}{5}

+Ta xét x > y thì P ≥ P(\sqrt{xy}) = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}

Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất khi z = \sqrt{xy}

Đặt t = \sqrt{\frac{x}{y}} ⇒ P thành f(t) = \small \frac{t^{2}}{2t^{2}+3} + \small \frac{2}{1+t} (t ∈ (1 ; 2])

⇒ f'(t) = \small \frac{-2[4t^{3}(t-1)+3(2t^{2}-t+3)]}{(2t^{2}+3)^{2}(t+1)^{2}} < 0 

Vậy P ≥ f(t) ≥ f(2) = \frac{34}{33}. Dấu "=" xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2. Vậy minP = \frac{34}{33}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết