Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39935

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}.

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}.


A.
minP = \frac{1}{9}
B.
minP = - \frac{1}{9}
C.
minP = - \frac{10}{9}
D.
minP = \frac{10}{9}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

(xy + yz + zx) ( \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}) ≥ 3\sqrt[3]{x^2 y^2 z^2} . \frac{3}{\sqrt[3]{x^2 y^2 z^2}} = 9

=> \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}  ≥ \frac{9}{xy + yz + zx} .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Khi đó P ≥ \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{9}{xy + yz + zx}

= \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy + yz + zx} + \frac{1}{xy + yz + zx} + \frac{7}{xy + yz + zx}

 ≥ \frac{3}{\sqrt[3]{(x^2 + y^2 + z^2)(xy + yz + zx)^2}} + \frac{7}{xy + yz + zx}

Mặt khác 

\sqrt[3]{(x^2 + y^2 + z^2)(xy + yz + zx)^2}  ≤ \frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}{3} =  \frac{(x+y+z)^{2}}{3} = 9

x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx

<=> x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx ≥ 3xy + 3yz + 3zx

 

<=> (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx)

<=> xy + yz + zx ≤ 9

Vậy p ≥ \frac{3}{9} + \frac{7}{9} = \frac{10}{9}

Vậy minP = \frac{10}{9}.

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = √3.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết