Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 40231

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y  ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = \sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}} - (\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{y}{y^{2}+1}).

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y  ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

P = \sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}} - (\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{y}{y^{2}+1}).


A.
 min P = √5 + \frac{4}{5}
B.
 min P = √5 - \frac{4}{5}
C.
 min P = 2√5 + \frac{4}{5}
D.
 min P = 2√5 - \frac{4}{5}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có : 0 < \sqrt{xy} ≤ \frac{x+y}{2} ≤  \frac{1}{2}

\sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\sqrt{1^{2}+2^{2}} ≥  \frac{1}{\sqrt{5}}(2x + \frac{2}{x});

\sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}\sqrt{1^{2}+2^{2}}  ≥  \frac{1}{\sqrt{5}}(2y + \frac{2}{y})

P ≥ \frac{2}{\sqrt{5}}(x + y + \frac{1}{x}+\frac{1}{y}) ≥  \frac{4}{\sqrt{5}}(\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}})

≥ \frac{4}{\sqrt{5}}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+4\sqrt{xy}-3{\sqrt{xy}}) ≥ \frac{4}{\sqrt{5}}(2√4 - \frac{3}{2}) = 2√5

\frac{1}{x^{2}+1} =  \frac{1}{x^{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} ≤\frac{1}{x+\frac{3}{4}} = \frac{4}{4x+3}

Tương tự ta có: 

\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1} ≤ \frac{4x}{4x+3}+\frac{4y}{4y+3} = 2 - 3(\frac{1}{4x+3}+\frac{1}{4y+3})

≤ 2 - 3\frac{4}{4x+4y+6} ≤ 2 - \frac{3}{1}.\frac{2}{5} = \frac{4}{5}

Vậy P ≥ 2√5 - \frac{4}{5}. Dấu '=' xảy ra khi x = y = \frac{1}{2}

Vậy min P = 2√5 - \frac{4}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết