Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 40231

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y  ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = \sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}} - (\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{y}{y^{2}+1}).

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y  ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

P = \sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}} - (\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{y}{y^{2}+1}).


A.
 min P = √5 + \frac{4}{5}
B.
 min P = √5 - \frac{4}{5}
C.
 min P = 2√5 + \frac{4}{5}
D.
 min P = 2√5 - \frac{4}{5}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có : 0 < \sqrt{xy} ≤ \frac{x+y}{2} ≤  \frac{1}{2}

\sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\sqrt{1^{2}+2^{2}} ≥  \frac{1}{\sqrt{5}}(2x + \frac{2}{x});

\sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}\sqrt{1^{2}+2^{2}}  ≥  \frac{1}{\sqrt{5}}(2y + \frac{2}{y})

P ≥ \frac{2}{\sqrt{5}}(x + y + \frac{1}{x}+\frac{1}{y}) ≥  \frac{4}{\sqrt{5}}(\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}})

≥ \frac{4}{\sqrt{5}}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+4\sqrt{xy}-3{\sqrt{xy}}) ≥ \frac{4}{\sqrt{5}}(2√4 - \frac{3}{2}) = 2√5

\frac{1}{x^{2}+1} =  \frac{1}{x^{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} ≤\frac{1}{x+\frac{3}{4}} = \frac{4}{4x+3}

Tương tự ta có: 

\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1} ≤ \frac{4x}{4x+3}+\frac{4y}{4y+3} = 2 - 3(\frac{1}{4x+3}+\frac{1}{4y+3})

≤ 2 - 3\frac{4}{4x+4y+6} ≤ 2 - \frac{3}{1}.\frac{2}{5} = \frac{4}{5}

Vậy P ≥ 2√5 - \frac{4}{5}. Dấu '=' xảy ra khi x = y = \frac{1}{2}

Vậy min P = 2√5 - \frac{4}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết