Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12306

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}} - \frac{x-2y}{6(x+y)}.

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị l

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}} - \frac{x-2y}{6(x+y)}.


A.
Giá trị lớn nhất của P là - \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{7}{30}.
B.
Giá trị lớn nhất của P là - \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.
C.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.
D.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{7}{30}.
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Do x > 0, y > 0, xy ≤ y -1 nên 0 < \frac{x}{y} ≤ \frac{y-1}{y^{2}} = \frac{1}{y} - \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{4}- (\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{2}})2 ≤ \frac{1}{4}.

Đặt t = \frac{x}{y}, suy ra 0 < t ≤ \frac{1}{4}. Khi đó P = \frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}} - \frac{t-2}{6(t+1)}

Xét f(t) =\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}} - \frac{t-2}{6(t+1)}, với 0 < t ≤ \frac{1}{4}.

Ta có f’(t) = \frac{7-3t}{2\sqrt{(t^{2}-t+3)^{3}}} - \frac{1}{2(t+1)^{2}}.

Với 0 < t ≤ \frac{1}{4} ta có t2 – t + 3 = t(t -1) + 3  < 3; 7 – 3t > 6 và t + 1 > 1.

Do đó \frac{7-3t}{2\sqrt{(t^{2}-t+3)^{3}}}  > \frac{7-3t}{6\sqrt{3}}> \frac{1}{\sqrt{3}} và -\frac{1}{2(t+1)^{2}} > - \frac{1}{2}.

Suy ra f’(t) >\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} > 0.

Do đó P = f(t) ≤ f(\frac{1}{4} ) = \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Khi x = \frac{1}{2} và  y = 2, ta có P =\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Vậy giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết