Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7543

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = \frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = \frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là 5.
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là 6.
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là 7.
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là 8.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤ \frac{t^{2}}{4}

P = \frac{t^{3}-t^{2}-xy(3t-2)}{xy-t+1}

Do 3t – 2 > 0  và –xy ≥ - \frac{t^{2}}{4} nên ta có:   P ≥ \frac{t^{3}-t^{2}-\frac{xy(3t-2)}{4}}{\frac{t^{2}}{4}-t+1} = \frac{t^{2}}{t-2}

Xét hàm số : f(t) = \frac{t^{2}}{t-2}; f’(t) = \frac{t^{2}-4t}{(t-2)^{2}}; f’(t) = 0 ⇔\left\{\begin{matrix}t=0\\t=4\end{matrix}\right.

Do đó minP = \min_{(2;+)}f(t) = f(4) = 8 đạt được khi   \left\{\begin{matrix}x-y+2=0\\xy=4\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.

Giá trị nhỏ nhất của P là 8.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết