Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5423

Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Xác định x sao cho thể tích của tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất.

Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Xác đị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Xác định x sao cho thể tích của tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất.


A.
x = \sqrt{\frac{3}{2}}.
B.
x = \sqrt{\frac{3}{4}}
C.
x = \sqrt{\frac{1}{2}}
D.
x = \sqrt{\frac{2}{3}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi M là trung điểm của AB. Do các tam giác ABD và ABC cân nên:

AB ⊥ MC, AB ⊥ MD => AB ⊥ (MCD)

=> VABCD =  VA.MCD + VB.MCD

          =  \frac{1}{3} AM.SMCD + \frac{1}{3}  BM.SMCD = \frac{1}{3} AB.SMCD

Xét tam giác MCD có:

MC = MD = \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}.

Gọi H là trung điểm của CD ta có: MH ⊥CD

Do đó: MH = \sqrt{MC^{2}-CH^{2}} =\frac{\sqrt{3-x^{2}}}{2}

=> VABCD = \frac{1}{3}.AB.\frac{1}{2}MH.CD = \frac{x\sqrt{3-x^{2}}}{12}

Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có: x\sqrt{3-x^{2}}\leq \frac{x^{2}+3-x^{2}}{2}=\frac{3}{2}

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = \sqrt{3-x^{2}} <=> x = \sqrt{\frac{3}{2}}.

Vậy thể tích của khối tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = \sqrt{\frac{3}{2}}.

 

AB ⊥ MC, AB ⊥ MD => AB ⊥ (MCD)

ð  VABCD =  VA.MCD + VB.MCD

          =   AM.SMCD +        BM.SMDC =       AB.SMCD

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết