Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 49805

Cho tam giác vuông cân ABC (\widehat{A}= 900, AB = AC). Trên cạn AC lấy điểm M sao cho MC : MA = 1 : 3. Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K. Kẻ BE ⊥ CK. a. Chứng minh tứ giác ABEC là hình vuông. b. Chứng minh \frac{1}{AB^{2}} = \frac{1}{BM^{2}} + \frac{1}{BK^{2}} c. Biết BM = 6 cm. Tính các cạnh của tam giác MCK.

Cho tam giác vuông cân ABC (= 900, AB = AC). Trên cạn AC lấy điểm M sao cho MC : MA = 1

Câu hỏi

Nhận biết

Cho tam giác vuông cân ABC (\widehat{A}= 900, AB = AC). Trên cạn AC lấy điểm M sao cho MC : MA = 1 : 3. Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K. Kẻ BE ⊥ CK.

a. Chứng minh tứ giác ABEC là hình vuông.

b. Chứng minh \frac{1}{AB^{2}} = \frac{1}{BM^{2}} + \frac{1}{BK^{2}}

c. Biết BM = 6 cm. Tính các cạnh của tam giác MCK.


A.
MC = \frac{1}{5} (cm), MK = 2 (cm), KC = 1\frac{3}{5} (cm)
B.
MC = 1\frac{1}{5} (cm), MK = 2 (cm), KC = \frac{3}{5} (cm)
C.
MC = 2\frac{1}{5} (cm), MK = 2 (cm), KC = 1\frac{3}{5} (cm)
D.
MC = 1\frac{1}{5} (cm), MK = 2 (cm), KC = 1\frac{3}{5} (cm)
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

a. Xét tứ giác ABEC có \widehat{A} = \widehat{C} = \widehat{E}= 900 và AB = AC nên ABEC là hình vuông.

b. Kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại B cắt EC tại N. Xét ∆ABM và ∆EBN có: AB = AE (vì ABEC là hình vuông).

\widehat{ABM} = \widehat{EBN} (2 góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc).

\widehat{A} = \widehat{E} = 900.

Vậy ∆ABM = ∆EBN (g.c.g) => BM = BN.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông BNK ta có:

\frac{1}{BE^{2}} = \frac{1}{BN^{2}} + \frac{1}{BK^{2}}, mà AB = BE và BM = BN.

Vậy \frac{1}{AB^{2}} = \frac{1}{BM^{2}} + \frac{1}{BK^{2}}

c. MC : MA = 1 : 3 => MA = 3MC và AB = AC = 4MC.

Đặt MC = x thì MA = 3x, AB = 4x

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABM:

AB2 + AC2 = BM2 => (4x)2 + (3x)2 = 62 ⇔ 25x2 = 36 ⇔ x = \frac{6}{5}

Vậy MC = 1\frac{1}{5} (cm); AB = 4x = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} (cm).

Vì CK // AB nên ∆MCK ∽ ∆MAB => \frac{MK}{MB} = \frac{KC}{AB} = \frac{CM}{CA} = \frac{1}{3} => MK = 2 (cm) và KC = \frac{24}{5} : 3 = 1\frac{3}{5} (cm).

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết