Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 7837

Cho số phức z thỏa mãn z+\sqrt{2}i có một acgumen bằng một acgumen của z+\sqrt{2} cộng với \frac{\pi }{4}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  T=|z+1|+|z+i|

Cho số phức z thỏa mãn z+

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số phức z thỏa mãn z+\sqrt{2}i có một acgumen bằng một acgumen của z+\sqrt{2} cộng với \frac{\pi }{4}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  T=|z+1|+|z+i|


A.
T max=\sqrt{3}
B.
T max=2\sqrt{5}
C.
T max=2\sqrt{3}
D.
T max=\sqrt{5}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z=x-yi. Khi đó z+\sqrt{2}i có một acgumen bằng một acgumen của z+\sqrt{2} cộng với \frac{\pi }{4} nên \frac{z+\sqrt{2}i}{z+\sqrt{2}}=r(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4}) với r>0

Ta có \frac{z+\sqrt{2}i}{z+\sqrt{2}}=\frac{x+(y+\sqrt{2})i}{(x+\sqrt{2})+yi}

= \frac{[x+(y+\sqrt{2})i].[(x+\sqrt{2})-yi]}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}

=\frac{x(x+\sqrt{2})+y(y+\sqrt{2})}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}} + \frac{(x+\sqrt{2})(y+\sqrt{2})-xy}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}i

Suy ra

= \frac{x(x+\sqrt{2})+y(y+\sqrt{2})}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}=\frac{(x+\sqrt{2})(y+\sqrt{2})-xy}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}} >0

<=> \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2\\(x+2)^{2}+y^{2}\neq 0 \\x+y+\sqrt{2}>0 \end{matrix}\right.

Ta có:

T=|z+1|+|z+i|= |(x+1)+yi|+|x+(y+1)i|

= \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}

=\sqrt{3+2x}+\sqrt{3+2y}

Áp dụng BĐT cô-si ta có:

T2 ≤2(6+2x+2y) ≤2(6+2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})  20

Suy ra T≤ 2\sqrt{5}, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=1

Vậy giá trị lớn nhất của T là 2\sqrt{5}, đạt khi z=1+i

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết