Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 1976

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+\frac{1}{z^{2013}}

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+\frac{1}{z^{2013}}


A.
5+\frac{\sqrt{5}}{3}i
B.
-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i
C.
2-3i
D.
-\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z=x+yi (x,y∈R)

Khi đó

 2|z|+√3iz=4-z <=> 2\sqrt{x^{2}+y^{2}} + (1+\sqrt{3}i)(x+yi)=4

<=> 2\sqrt{x^{2}+y^{2}} +(x-√3y)+(√3x+y)i=4

<=> \left\{\begin{matrix} \sqrt{3}x+y=0\\2\sqrt{x^{2}+y^{2}}+(x-\sqrt{3}y)=4 \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{3}x\\2\sqrt{4x^{2}}+4x=4 \end{matrix}\right.

<=>\left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{3}x\\\sqrt{x^{2}}+x=1 \end{matrix}\right.

Ta có \sqrt{x^{2}}+x=1 <=> \sqrt{x^{2}}=1-x <=> \left\{\begin{matrix} 1-x\geq 0\\x^{2}=(1-x)^{2} \end{matrix}\right. <=> x=\frac{1}{2}

Suy ra y=-\frac{\sqrt{3}}{2} hay z=\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i= cos\frac{\pi }{3} +isin\frac{\pi }{3}. Do đó ta có

z2012+\frac{1}{z^{2013}}= cos(-\frac{2012\pi }{3})+isin(-\frac{2012\pi }{3})+cos\frac{2013\pi }{3}+ isin\frac{2013\pi }{3}

=cos(-\frac{2\pi }{3})+ isin(-\frac{2\pi }{3}) -1 =-\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết