Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 1976

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+\frac{1}{z^{2013}}

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+\frac{1}{z^{2013}}


A.
5+\frac{\sqrt{5}}{3}i
B.
-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i
C.
2-3i
D.
-\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z=x+yi (x,y∈R)

Khi đó

 2|z|+√3iz=4-z <=> 2\sqrt{x^{2}+y^{2}} + (1+\sqrt{3}i)(x+yi)=4

<=> 2\sqrt{x^{2}+y^{2}} +(x-√3y)+(√3x+y)i=4

<=> \left\{\begin{matrix} \sqrt{3}x+y=0\\2\sqrt{x^{2}+y^{2}}+(x-\sqrt{3}y)=4 \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{3}x\\2\sqrt{4x^{2}}+4x=4 \end{matrix}\right.

<=>\left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{3}x\\\sqrt{x^{2}}+x=1 \end{matrix}\right.

Ta có \sqrt{x^{2}}+x=1 <=> \sqrt{x^{2}}=1-x <=> \left\{\begin{matrix} 1-x\geq 0\\x^{2}=(1-x)^{2} \end{matrix}\right. <=> x=\frac{1}{2}

Suy ra y=-\frac{\sqrt{3}}{2} hay z=\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i= cos\frac{\pi }{3} +isin\frac{\pi }{3}. Do đó ta có

z2012+\frac{1}{z^{2013}}= cos(-\frac{2012\pi }{3})+isin(-\frac{2012\pi }{3})+cos\frac{2013\pi }{3}+ isin\frac{2013\pi }{3}

=cos(-\frac{2\pi }{3})+ isin(-\frac{2\pi }{3}) -1 =-\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết