Cho số nguyên dương n thỏa mãn 
+ 
+ ... + 
= 230 và khai triển (1 + x)(1 + 2x)n = a0 + a1x + … + an+1xn+1. Tìm hệ số ai lớn nhất với 0 ≤ i ≤ n + 1 (
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu hỏi
Nhận biếtCho số nguyên dương n thỏa mãn + + ... + = 230 và khai triển (1 + x)(1 + 2x)n = a0 + a1x + … + an+1xn+1. Tìm hệ số ai lớn nhất với 0 ≤ i ≤ n + 1 ( là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có
+ 
+ ... + 
= 
+ 
+ ... + 
nên
+ + ... + + + + ... + = 231.
mà (1 + 1)2n+1 = + + ... + + + + ... +
Suy ra 2n + 1 = 31 ⇔ n = 15
Giả sử (1 + 2x)15 = b0 + b1x + … + b15x15. Khi đó
(1 + x)(1 + 2x)n = (1 + x)(b0 + b1x + … + b15x15)
= b0 + (b0 + b1)x + (b1 + b2)x2 + … + (b14 + b15)x15 + b15x16.
Ta có bi = 
.2i , 0 ≤ i ≤ 15.
* b1 > bi – 1 ⇔ .2i > 
. 2i - 1 ⇔ i ≤ 10.
* b1 > bi + 1 ⇔ .2i > 
. 2i + 1 ⇔ i ≥10.
Suy ra b0 < b1 < ... < b10 > b11 > ... > b15
Suy ra a0 < a1 < ... < a10 = b9 + b10 và b10 + b11 = a11 > a12 > … > a16.
Do b9 = 
. 29 < 
. 211 = b11 nên a10 < a11. Suy ra hệ số ai lớn nhất là a11 = b10 + b11 = 
. 210 + . 211.
Ta có
+ + ... + = + + ... + nên
+ + ... + + + + ... + = 231.
mà (1 + 1)2n+1 = + + ... + + + + ... +
Suy ra 2n + 1 = 31 ⇔ n = 15
Giả sử (1 + 2x)15 = b0 + b1x + … + b15x15. Khi đó
(1 + x)(1 + 2x)n = (1 + x)(b0 + b1x + … + b15x15)
= b0 + (b0 + b1)x + (b1 + b2)x2 + … + (b14 + b15)x15 + b15x16.
Ta có bi = .2i , 0 ≤ i ≤ 15.
* b1 > bi – 1 ⇔ .2i > . 2i - 1 ⇔ i ≤ 10.
* b1 > bi + 1 ⇔ .2i > . 2i + 1 ⇔ i ≥10.
Suy ra b0 < b1 < ... < b10 > b11 > ... > b15
Suy ra a0 < a1 < ... < a10 = b9 + b10 và b10 + b11 = a11 > a12 > … > a16.
Do b9 = . 29 < . 211 = b11 nên a10 < a11. Suy ra hệ số ai lớn nhất là a11 = b10 + b11 = . 210 + . 211.
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Tính tích phân I =
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Giải phương trình:
