Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 8692

Cho n là số tự nhiên, n ≥ 2. Tính S = \sum_{k=1}^{n}k2C_{n}^{k}  2k = 12. C_{n}^{1} .2 + 22C_{n}^{2} .22 + … + n2.C_{n}^{n} .2n

Cho n là số tự nhiên, n≥ 2. Tính S =

Câu hỏi

Nhận biết

Cho n là số tự nhiên, n ≥ 2. Tính S = \sum_{k=1}^{n}k2C_{n}^{k}  2k = 12. C_{n}^{1} .2 + 22C_{n}^{2} .22 + … + n2.C_{n}^{n} .2n


A.
S = n.3n + 2 (2 - 4n)
B.
S = n.3n – 2 (2 + 4n)
C.
S = n.3n + 2 (2 + 4n)
D.
S = n.3n – 2 (2 - 4n)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

S = \sum_{k=1}^{n}k2C_{n}^{k}  2k = 12. C_{n}^{1} .2 + 22C_{n}^{2} .22 + … + n2.C_{n}^{n} .2n

= \sum_{k=1}^{n}k(k - 1)C_{n}^{k} 2k + \sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k} 2k 

Xét khai triển (1 + x)n =\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k} xk

 - n(1 + x)n – 1 = \sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k} xk – 1 , lấy x = 2 ta được

n.3n – 1 = \sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k} 2k – 1 ⇔ 2n.3n – 1 =\sum_{k=1}^{n} kC_{n}^{k} 2k

- n(n – 1)(1 + x)n – 2 = \sum_{k=2}^{n}k(k – 1)C_{n}^{k} xk – 2 , lấy x = 2 ta được

n(n – 1).3n – 2 = \sum_{k=2}^{n}k(k – 1)C_{n}^{k} xk – 2 ⇔ 4n(n – 1)3n – 2 =\sum_{k=2}^{n}k(k – 1)C_{n}^{k} 2k

Vậy S = n.3n – 2 (2 + 4n)

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết